Математикалык теңдемелерди кантип жөнөкөйлөтүү керек: 13 кадам

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2024-01-15 08:19

Математика студенттеринен көбүнчө жоопторун эң жөнөкөй түрүндө жазууну сурашат - башкача айтканда, жоопторду мүмкүн болушунча көрктүү кылып жазуу. Узун, катуу жана кыска, ошондой эле көрктүү теңдемелер техникалык жактан бирдей болсо да, көбүнчө математикалык маселе акыркы жооп эң жөнөкөй формасына түшүрүлбөсө толук деп эсептелбейт. Ошондой эле, анын эң жөнөкөй формасындагы жооп дээрлик дайыма иштөө үчүн эң оңой теңдеме болуп саналат. Ушул себептен улам, теңдемелерди жөнөкөйлөтүүнү үйрөнүү математиктер үчүн маанилүү көндүм болуп саналат.

Кадам

Метод 1дин 2: Операциянын ырааттуулугун колдонуу

Кадам 1. Операциялардын тартибин билүү

Математикалык туюнтмаларды жөнөкөйлөштүрүүдө, солдон оңго карай жөн гана иштей албайсыз, көбөйтүү, кошуу, кемитүү ж.б. Кээ бир математикалык операциялар башкалардан артыкчылыкка ээ болушу керек жана биринчи орунда болушу керек. Чынында, операциялардын туура эмес тартибин колдонуу туура эмес жооп бериши мүмкүн. Амалдардын тартиби: кашаанын ичиндеги бөлүк, көрсөткүч, көбөйтүү, бөлүү, кошуу жана акырында азайтуу. Эстөө үчүн колдоно турган кыскартуу - бул апа жакшы эмес, жаман жана кедей.

Белгилей кетсек, операциялардын тартиби жөнүндөгү негизги билим эң негизги теңдемелерди жөнөкөйлөтө алат, бирок дээрлик бардык полиномдорду камтыган көптөгөн өзгөрмө теңдемелерди жөнөкөйлөтүү үчүн атайын ыкмалар талап кылынат. Көбүрөөк маалымат алуу үчүн төмөнкү экинчи ыкманы караңыз

Кадам 2. Кашаадагы бардык бөлүмдөрдү толтуруу менен баштаңыз

Математикада кашаанын ички бөлүгү кашаанын сыртындагы туюнтмадан өзүнчө эсептелиши керек экенин көрсөтөт. Кашаанын ичинде кандай амалдар болбосун, теңдемени жөнөкөйлөтүүгө аракет кылып жатканда, кашаанын ичиндеги бөлүктү аягына чыгарууну унутпаңыз. Мисалы, кашаанын ичинде кошуу, азайтуу ж.б.у.с чейин көбөйтүү керек.

• Мисалы, 2x + 4 (5 + 2) + 3 теңдемесин жөнөкөйлөтүүгө аракет кылалы² - (3 + 4/2). Бул теңдемеде биз кронштейндердин ичиндеги бөлүгүн, тактап айтканда 5 + 2 жана 3 + 4/2, чечишибиз керек. 5 + 2 =

  7 -кадам.. 3 + 4/2 = 3 + 2

  5 -кадам

  Экинчи кронштейндеги бөлүк 5ке чейин жөнөкөйлөштүрүлгөн, анткени операциялардын тартибине ылайык, биз алгач кашаанын 4/2 бөлөбүз. Эгерде биз жөн гана солдон оңго карай иштей турган болсок, алгач 3 жана 4 кошобуз, андан кийин 2ге бөлүп, 7/2 туура эмес жооп беребиз

• Эскертүү - эгер кашаанын ичинде бир нече кашаа бар болсо, ички кронштейндеги бөлүмдү толуктаңыз, андан кийин экинчи ички ж.б.

3 -кадам. Көрсөткүчтү чечиңиз

Кронштейндерди бүтүргөндөн кийин, теңдемеңиздин көрсөткүчүн чечиңиз. Муну эстөө оңой, анткени экспоненттерде базалык номер менен бийликтин күчү бири -бирине жакын. Экспоненттин ар бир бөлүгүнө жооп табыңыз, андан кийин экспонент бөлүгүн алмаштыруу үчүн жообуңузду теңдемеге кошуңуз.

Бөлүктү кашаанын ичинде толтургандан кийин, биздин мисал теңдемебиз эми 2x + 4 (7) + 3 болуп калат² - 5. Биздин мисалда бир гана экспоненциал 3², 9га барабар. Бул жыйынтыкты 3кө алмаштыруу үчүн теңдемеңизге кошуңуз² натыйжада 2x + 4 (7) + 9 - 5.

4 -кадам. Теңдемеңиздеги көбөйтүү маселесин чечиңиз

Андан кийин, теңдемеңизде каалаган көбөйтүү керек. Көбөйтүү бир нече жол менен жазылышы мүмкүн экенин унутпаңыз. × чекит же жылдызча белгиси - көбөйтүүнү көрсөтүү жолу. Бирок, кашаанын жанындагы сан же өзгөрмө (мисалы, 4 (x)) дагы көбөйтүүнү билдирет.

• Биздин маселеде көбөйтүүнүн эки бөлүгү бар: 2x (2x - 2 × x) жана 4 (7). Биз xтин баркын билбейбиз, ошондуктан аны 2xке калтырабыз. 4 (7) = 4 × 7 =

  28 -кадам.. Биз теңдемебизди 2x + 28 + 9 - 5 деп кайра жаза алабыз.

5 -кадам. Бөлүнүүгө өтүңүз

Теңдемелериңизде бөлүү көйгөйлөрүн издеп жүргөнүңүздө, көбөйтүү сыяктуу эле, бөлүү да бир нече жолдор менен жазылышы мүмкүн экенин унутпаңыз. Булардын бири символ, бирок эстен чыгарбоо керек, мисалы, бөлчөк сыяктуу сызыктар жана сызыктар (мисалы, 3/4) бөлүнүүнү да көрсөтөт.

Анткени биз бөлүктөрдү кашаанын ичинде бүтүргөндө (4/2) бөлүп койгонбуз. Биздин мисалда бөлүү көйгөйү жок, андыктан бул кадамды өткөрүп жиберебиз. Бул маанилүү нерсени көрсөтүп турат - сөздү жөнөкөйлөштүрүүдө бардык амалдарды аткаруунун кажети жок, көйгөйүңүздө камтылган операциялар гана

Кадам 6. Кийинки, теңдемеңизде бар нерсени кошуңуз

Сиз солдон оңго карай иштей аласыз, бирок алгач кошууга оңой болгон сандарды кошуу оңой. Мисалы, 49 + 29 + 51 + 71 маселесинде 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129 караганда 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 жана 100 + 100 = 200 кошуу оңой. жана 129 + 71 = 200.

Биздин мисал теңдемебиз 2x + 28 + 9 - 5ке чейин жарым -жартылай жөнөкөйлөштүрүлгөн. Эми, биз кошо ала турган сандарды кошушубуз керек - ар бир кошуу маселесин солдон оңго карайбыз. Биз 2x менен 28ти кошо албайбыз, анткени биз xтин баалуулугун билбейбиз, ошондуктан биз аны өткөрүп жиберебиз. 28 + 9 = 37, 2x + 37 - 5 катары кайра жазылышы мүмкүн.

Кадам 7. Амалдардын ырааттуулугунун акыркы кадамы - азайтуу

Калган кемитүү көйгөйлөрүн чечүү менен көйгөйүңүздү улантыңыз. Сиз алып салууну бул этапта терс сандарды кошуу же кадимки кошуу көйгөйүндөгүдөй кадамдарды колдонуу катары ойлонушуңуз мүмкүн - сиздин тандооңуз жоопко таасирин тийгизбейт.

• Биздин маселеде, 2x + 37 - 5, бир гана алып салуу маселеси бар. 37 - 5 =

  32 -кадам.

Кадам 8. Теңдемеңизди текшериңиз

Амалдардын тартибин колдонуп чечкенден кийин, теңдемеңиз эң жөнөкөй түрүнө чейин жөнөкөйлөштүрүлүшү керек. Бирок, эгер сиздин теңдемеңизде бир же бир нече өзгөрмөлөр бар болсо, анда өзгөрмөлөрүңүздүн үстүндө иштөөнүн кажети жок экенин түшүнүңүз. Өзгөрмөнү жөнөкөйлөтүү үчүн сиз өзгөрмөнүн маанисин табышыңыз керек же сөз айкашын жөнөкөйлөтүү үчүн атайын ыкмаларды колдонушуңуз керек (төмөндөгү кадамды караңыз).

Биздин акыркы жооп 2x + 32. Биз бул акыркы толуктоону xтин маанисин билмейинче чече албайбыз, бирок эгерде биз анын маанисин билсек, бул теңдемени чечүү биздин узун баштапкы теңдемеге караганда алда канча оңой болмок

Метод 2 2: татаал теңдемелерди жөнөкөйлөтүү

Кадам 1. Ошол эле өзгөрмөлүү бөлүктөрдү кошуңуз

Өзгөрмө теңдемелерди чечүүдө, өзгөрмөсү жана көрсөткүчү бирдей болгон бөлүктөрдү (же ошол эле өзгөрмөнү) кадимки сандар сыяктуу кошууга жана кемитүүгө болорун унутпаңыз. Бул бөлүк бирдей өзгөрмөгө жана көрсөткүчкө ээ болушу керек. Мисалы, 7x жана 5x кошсо болот, бирок 7x жана 5x² кошууга болбойт.

• Бул эреже кээ бир өзгөрмөлөргө да тиешелүү. Мисалы, 2xy² -3xy менен жыйынтыктоого болот², бирок -3x менен жыйынтыктоого болбойт²y же -3y².
• X теңдемесин караңыз² + 3x + 6 - 8x. Бул теңдемеде биз 3x жана -8x кошо алабыз, анткени алар бирдей өзгөрмөлүү жана көрсөткүчтүү. Жөнөкөй теңдеме x болуп калат² - 5x + 6.

Кадам 2. Бөлчөк сандарды факторлорго бөлүү же чийүү аркылуу жөнөкөйлөтүү

Нумератордо жана бөлгүчтө бир гана сандары бар (жана өзгөрмөлөрү жок) фракциялар бир нече жол менен жөнөкөйлөштүрүлүшү мүмкүн. Биринчиси, жана, балким, эң оңосу - бөлчөккө бөлүү маселеси катары кароо жана бөлгүчтү саноочуга бөлүү. Ошондой эле, эсептегичте жана бөлгүчтө пайда болгон ар кандай көбөйтүү коэффициентин чийип салууга болот, анткени эки факторду бөлүштүрүүдө 1 саны пайда болот.

Мисалы, 36/60 фракциясын караңыз. Эгерде бизде калькулятор болсо, биз жоопту алуу үчүн аны бөлүп алабыз 0, 6. Бирок, эгерде бизде калькулятор жок болсо, биз дагы эле ошол факторлорду чийип, аны жөнөкөйлөтө алабыз. 36/60 элестетүүнүн дагы бир жолу - (6 × 6)/(6 × 10). Бул бөлүк 6/6 × 6/10 деп жазылышы мүмкүн. 6/6 = 1, ошондуктан биздин фракция чындыгында 1 × 6/10 = 6/10. Бирок, биз азырынча бүтө элекпиз - 6 да, 10 да бирдей факторго ээ, бул 2. Жогорудагы ыкманы кайталап, натыйжа болот 3/5.

3 -кадам. Өзгөрмө бөлчөк боюнча, өзгөрмөнүн бардык факторлорун сызып салыңыз

Бөлчөк түрүндөгү өзгөрмө теңдемелер жөнөкөйлөтүүнүн уникалдуу жолуна ээ. Кадимки фракциялар сыяктуу эле, өзгөрмөлүү фракциялар да эсептегичтин жана бөлгүчтүн жалпылыгы бар факторлорду жоюуга мүмкүндүк берет. Бирок, өзгөрмөлүү фракцияларда бул факторлор чыныгы өзгөрмөнүн сандары жана теңдемелери болушу мүмкүн.

• Теңдемени айталы (3x² + 3x)/(-3x² + 15x). Бул бөлчөк (x + 1) (3x)/(3x) (5 - x) катары жазылышы мүмкүн, 3x санда да, бөлгүчтө да пайда болот. Бул факторлорду теңдемеден чыгаруу менен жыйынтык (x + 1)/(5 - x) болуп калат. Көрүнүштөгүдөй эле (2x² + 4x + 6)/2, ар бир бөлүк 2гө бөлүнгөндүктөн, теңдемени (2 (x² + 2x + 3))/2 жана андан кийин xке чейин жөнөкөйлөтүңүз² + 2x + 3.
• Белгилей кетчү нерсе, бардык бөлүмдөрдү чийип салуу мүмкүн эмес - сиз саноочу жана бөлгүчтө пайда болгон көбөйтүү факторлорун гана сызып салсаңыз болот. Мисалы, (x (x + 2))/x туюнтмасында xти бөлгүчтөн да, бөлгүчтөн да кесип өтүүгө болот, ошондуктан ал (x + 2)/1 = (x + 2) болуп калат. Бирок, (x + 2)/x 2/1 = 2 ге чийилип салынышы мүмкүн эмес.

4 -кадам. Кашаанын ичиндеги бөлүктү туруктуу менен көбөйтүү

Кашаанын ичиндеги өзгөрмөсү бар бөлүктү константага көбөйткөндө, кээде кашаанын ар бир бөлүгүн константага көбөйтүү жөнөкөй теңдемеге алып келиши мүмкүн. Бул өзгөрмөлөргө ээ болгон сандан жана константадан турган туруктууларга тиешелүү.

• Мисалы, теңдеме 3 (x² + 8) 3xке чейин жөнөкөйлөтсө болот² + 24, ал эми 3x (x² + 8) 3xке чейин жөнөкөйлөтсө болот³ + 24x.
• Көңүл буруңуз, кээ бир учурларда, мисалы, өзгөрмөлүү фракциялар, кашаанын айланасындагы константаларды сызып салууга болот, андыктан аларды кашаанын бөлүгүнө көбөйтүүнүн кажети жок. Бөлчөкчө (3 (x² + 8))/3x, мисалы, 3 фактору саноочуда да, бөлгүчтө да пайда болот, андыктан биз аны сызып, (x үчүн туюнтманы жөнөкөйлөтө алабыз)² + 8)/x. Бул сөз айкашы (3x³ + 24x)/3x, бул биз көбөйтсөк ала турган жыйынтык.

Кадам 5. Факторинг менен жөнөкөйлөтүү

Факторинг - бул кээ бир өзгөрмөлүү сөздөрдү, анын ичинде полиномдорду жөнөкөйлөтүү үчүн колдонула турган техника. Факторингди жогорудагы кадамда кашаанын бөлүкчөсүнө көбөйтүүнүн карама -каршысы катары ойлонуп көрүңүз - кээде бир туюнтманы эмес, эки бөлүктү бири -бирине көбөйткөн деп ойлоого болот. Бул, айрыкча, факторинг теңдемеси анын бөлүктөрүнүн бирин (фракциялардагыдай) сызып салууга мүмкүндүк берсе туура болот. Кээ бир учурларда (көбүнчө квадрат теңдемелер менен) факторинг теңдеменин чечимин табууга мүмкүндүк бериши мүмкүн.

• Келгиле, дагы бир жолу x сөзүн кабыл алалы² - 5x + 6. Бул туюнтманы (x - 3) (x - 2) менен бөлүшсө болот. Демек, эгерде x² - 5x + 6 - бул теңдеменин санагы, анда бөлгүч бул факторлордун бирине ээ, (x² - 5x + 6)/(2 (x - 2)), биз аны фактор түрүндө жазгыбыз келиши мүмкүн, андыктан факторду бөлүүчү менен чийип алабыз. Башкача айтканда, (x - 3) (x - 2)/(2 (x - 2)), (x - 2) бөлүгүн (x - 3)/2 деп сызып койсо болот.

• Жогоруда айтылгандай, сиз теңдемелериңизди факторизациялоону каалашыңыз мүмкүн болгон дагы бир себеп, факторинг сизге кээ бир теңдемелерге жооп бериши мүмкүн, айрыкча алар барабар 0 катары жазылса. Мисалы, теңдеме x² - 5x + 6 = 0. Факторинг берет (x - 3) (x - 2) = 0. Нөлгө көбөйтүлгөн сан нөлгө барабар болгондуктан, биз кашаанын кайсы бир бөлүгү нөлгө барабар болсо, анда бардык теңдемелердин сол жактагы барабар белги, ошондой эле нөлгө барабар. Демек

  3 -кадам. да

  2-кадам. теңдемеге эки жооп бар.