Алгебралык туюнтмаларды жөнөкөйлөтүүнүн 3 жолу

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2024-01-15 08:19

Алгебралык туюнтмаларды жөнөкөйлөтүүнү үйрөнүү - негизги алгебраны өздөштүрүүнүн ачкычтарынын бири жана ар бир математикке керек болгон эң пайдалуу курал. Жөнөкөйлөтүү математиктерге татаал, узун жана/же так сөздөрдү жөнөкөй же оңой эквиваленттерге айландырууга мүмкүндүк берет. Негизги жөнөкөйлөтүү көндүмдөрүн үйрөнүү абдан оңой - ал тургай математиканы жек көргөндөр үчүн. Бир нече жөнөкөй кадамдарды аткаруу менен, математикадан эч кандай атайын билимди колдонбостон, эң көп колдонулган алгебралык туюнтмаларды жөнөкөйлөтүүгө болот. Баштоо үчүн 1 -кадамды карап көрүңүз!

Кадам

Маанилүү түшүнүктөрдү түшүнүү

Кадам 1. Өзгөрмөлөрүнө жана ыйгарым укуктарына ылайык терминдерди топтогула

Алгебрада терминдер бирдей өзгөрмөлүү, бирдей күчкө ээ. Башкача айтканда, эки термин бирдей болушу үчүн, алар бир эле өзгөрмөгө ээ болушу керек, же эч кандай өзгөрмөсү жок, жана ар бир өзгөрмөнүн күчү бирдей же экспоненти жок. Жагынан өзгөрмөлөрдүн тартиби маанилүү эмес.

Мисалы, 3x² жана 4x² терминдерге окшош, анткени экөөнүн тең чарчанын күчү менен x өзгөрмөсү бар. Бирок, x жана x² терминдерге окшош эмес, анткени ар бир термин башка күчкө ээ x өзгөрмөсүнө ээ. Дээрлик бирдей, -3yx жана 5xz терминдерге окшош эмес, анткени ар бир терминдин башка өзгөрмөсү бар.

Кадам 2. Санды эки фактордун продуктусу катары жазуу менен фактор

Факторинг - бул берилген факторду көбөйтүлгөн эки фактордун продуктусу катары жазуу түшүнүгү. Сандар бир нече факторлорго ээ болушу мүмкүн - мисалы, 12ди 1 × 12, 2 × 6 жана 3 × 4төн алууга болот, андыктан 1, 2, 3, 4, 6 жана 12 факторлор деп айта алабыз Элестетүүнүн дагы бир жолу - бул сандын факторлору бүтүн санды бөлүүчү сандар.

• Мисалы, эгерде биз 20 факторго ээ болууну кааласак, аны мындай деп жазсак болот 4 × 5.
• Көңүл бургула, өзгөрмөлүү терминдер да эсепке алынышы мүмкүн. -20x, мисалы катары жазылышы мүмкүн 4 (5x).
• Жөнөкөй сандарды эсепке алуу мүмкүн эмес, анткени аларды өздөрү жана 1 гана бөлө алышат.

Кадам 3. Операциялардын тартибин эстөө үчүн KaPaK BoTaK деген кыскартууну колдонуңуз

Кээде, сөз айкашын жөнөкөйлөтүү, теңдемедеги операцияны иштебей калганга чейин жөн эле чечет. Мындай учурларда, арифметикалык каталар болбошу үчүн, операциялардын тартибин эстөө абдан маанилүү. KaPaK BoTaK аббревиатурасы операциялардын тартибин эстеп калууга жардам берет - тамгалар сиз аткарышы керек болгон операциялардын түрлөрүн көрсөтөт:

• К.ийгиликсиз болуу
• П көтөрүү
• К.али
• Б.кайра
• Т.кошуу
• К.креветка

3 методу 1: Окшош шарттарды бириктирүү

Кадам 1. Теңдемеңизди жазыңыз

Эң жөнөкөй алгебралык теңдемелер, бүтүн коэффициенттери бар, бөлчөксүз, тамырсыз ж. Көпчүлүк математикалык маселелер үчүн, теңдемеңизди жөнөкөйлөштүрүүнүн биринчи кадамы - аны жазуу!

Мисал катары, кийинки бир нече кадам үчүн биз сөз айкашын колдонобуз 1 + 2x - 3 + 4x.

2 -кадам. Окшош урууларды аныктоо

Андан кийин, теңдемеңиздеги окшош терминдерди издеңиз. Унутпаңыз, окшош терминдер бир эле өзгөрмөгө жана экспонентке ээ.

Мисалы, 1 + 2x - 3 + 4x теңдемебиздеги окшош терминдерди аныктайлы. 2x жана 4x экөө тең бирдей кубаттуулукка ээ (бул учурда xтин экспоненти жок). Ошондой эле, 1 жана -3 терминдерге окшош, анткени аларда өзгөрмөлөр жок. Ошентип, биздин теңдемеде, 2x жана 4x жана 1 жана -3 окшош уруулар.

3 -кадам. Окшош терминдерди айкалыштырыңыз

Эми сиз окшош терминдерди аныктадыңыз, сиз аларды теңдештирүүнү жөнөкөйлөтүү үчүн бириктире аласыз. Терминдерди кошуңуз (же терс шарттарда алып салыңыз), ошол эле өзгөрмөлүү жана экспоненциалдуу терминдердин топтомун бирдей терминге чейин азайтыңыз.

• Биздин мисалга окшош терминдерди кошолу.

  • 2x + 4x = 6x
  • 1 + -3 = - 2

Кадам 4. Жөнөкөйлөтүлгөн терминдерден жөнөкөй теңдеме түзүңүз

Өзүңүзгө жаккан терминдерди айкалыштыргандан кийин, жаңы, кичине терминдер топтомунан теңдеме түзүңүз. Сиз жөнөкөй теңдемеге ээ болосуз, ал оригиналдуу теңдемеде өзгөрмөлөрдүн жана ыйгарым укуктардын ар кандай топтомдору үчүн бир терминге ээ. Бул жаңы теңдеме баштапкы теңдемеге барабар.

Биздин мисалда жөнөкөйлөтүлгөн терминдерибиз 6x жана -2, ошондуктан биздин жаңы теңдемебиз 6x - 2. Бул жөнөкөй теңдеме оригиналга барабар (1 + 2x - 3 + 4x), бирок кыска жана иштөө оңой. Факторлоо дагы оңой, биз төмөндө карайбыз, бул дагы бир маанилүү жөнөкөйлөтүү жөндөмү.

Кадам 5. Окшош терминдерди бириктирүүдө операциялардын тартибин аткарыңыз

Жогорудагы мисалдагы мисалдагыдай абдан жөнөкөй теңдемелерде окшош терминдерди аныктоо оңой. Бирок, татаал теңдемелерде, мисалы, кашаанын ичиндеги терминдерди, бөлчөктөрдү жана тамырларды камтыган сөздөр сыяктуу, айкалыштырылышы мүмкүн болгон терминдер так көрүнбөшү мүмкүн. Мындай учурларда, кошуу жана азайтуу амалдары калганга чейин, керек болгон учурда, билдирүүлөрүңүздөгү шарттар боюнча операцияларды аткарып, операциялардын тартибин аткарыңыз.

• Мисалы, 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x теңдемесин колдонолу. Дароо 3x жана 2x сыяктуу терминдерди карап, аларды бириктирүү туура эмес болот, анткени сөз айкашындагы кашаанын алдында биз башка операцияларды жасашыбыз керек экенин көрсөтүп турат. Биринчиден, биз колдоно ала турган терминдерди алуу үчүн, операциялардын ирети боюнча билдирүүдө арифметикалык амалдарды аткарабыз. Төмөнкүлөрдү караңыз:

  • 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x² + 8 - 3x. Эми, калган амалдар гана кошуу жана азайтуу болгондуктан, биз терминдерди бириктире алабыз.
  • x² + (15x - 3x) + (8 - 5)
  • x² + 12x + 3

Метод 2 3: факторинг

Кадам 1. Экспозициядагы эң чоң жалпы факторду аныктаңыз

Факторинг - бул сөз айкашындагы бардык окшош терминдерди алып салуу аркылуу сөз айкашын жөнөкөйлөтүүнүн жолу. Баштоо үчүн, бардык терминдердин эң чоң жалпы факторун табыңыз - башкача айтканда, бүтүндөй терминдерди бөлүүчү эң чоң сан.

• Келгиле, 9x теңдемесин колдонолу² + 27x - 3. Бул теңдемедеги ар бир мүчөнүн 3кө бөлүнөрүнө көңүл бургула. Терминдер чоң сандарга бөлүнбөгөндүктөн, биз муну айта алабыз

  3 -кадам. биздин эң чоң жалпы факторубуз.

2 -кадам. Көрүнүштөгү терминдерди эң чоң жалпы факторго бөлүңүз

Андан кийин, теңдемеңиздеги ар бир мүчөнү сиз тапкан эң чоң жалпы факторго бөлүңүз. Бөлүм шарттары баштапкы теңдемеге караганда кичине коэффициентке ээ болот.

• Келгиле, өзүбүздүн теңдемебизди эң чоң жалпы фактор менен эсептейли, 3. Бул үчүн биз ар бир мүчөнү 3кө бөлөбүз.

  • 9x²/3 = 3x²
  • 27x/3 = 9x
  • -3/3 = -1
  • Ошентип, биздин жаңы билдирүүбүз 3x² + 9x - 1.

3 -кадам. Калган терминдерге көбөйтүлгөн эң чоң жалпы фактордун продуктусу катары өз оюңузду жазыңыз

Сиздин жаңы туюнтмаңыз баштапкы туюнтмаңызга барабар эмес, андыктан бул сөз жөнөкөйлөштүрүлгөн деп айтуу туура эмес болуп калат. Жаңы сөзүбүздү түпнускага барабар кылуу үчүн, биз сөзүбүздүн эң чоң жалпы факторго бөлүнгөн фактыны камтышыбыз керек. Жаңы туюнтмаңызды кашаанын ичине алыңыз жана кашаанын ичиндеги туюнтуу коэффициенти катары баштапкы теңдеменин эң чоң жалпы факторун жазыңыз.

Биздин мисал үчүн, 3x² + 9x - 1, биз туюнтманы кашаанын ичине алып, аны оригиналдуу теңдеменин эң чоң жалпы факторуна көбөйтө алабыз. 3 (3x² + 9x - 1). Бул теңдеме баштапкы теңдемеге барабар, 9х² +27x - 3.

Кадам 4. Бөлчөктөрдү жөнөкөйлөтүү үчүн факторингди колдонуңуз

Сиз азыр факторинг эмне үчүн колдонулуп жатат деп ойлонуп жаткандырсыз, эгерде эң чоң жалпы факторду алып салгандан кийин дагы, жаңы сөздү ошол факторго кайра көбөйтүү керек. Чындыгында, факторинг математиктерге туюнтмаларды жөнөкөйлөтүү үчүн ар кандай трюктарды аткарууга мүмкүндүк берет. Анын эң оңой амалдарынын бири, бөлчөктүн бөлгүчүн жана бөлгүчүн бир эле санга көбөйтүү эквиваленттүү фракцияларды чыгара аларын колдонот. Төмөнкүлөрдү караңыз:

• Биздин баштапкы мисал айтыңыз, 9x² + 27x - 3, чоңураак бөлчөктүн санагы, 3 катары саноочу. Фракция мындай болот: (9x² + 27x - 3)/3. Биз фракцияларды жөнөкөйлөтүү үчүн факторингди колдонсок болот.

  • Келгиле, оригиналдуу сөз айкашыбыздын факторинг формасын эсептегичтин ордуна алмаштыралы: (3 (3x² + 9x - 1))/3
  • Байкагыла, азыр экөөнүн тең үлүшүнүн 3 коэффициенти бар. Бөлүүчү менен бөлүүнү 3кө бөлсөк, биз: (3x² + 9x - 1)/1.
  • Бөлүмү 1 болгон кандайдыр бир бөлүк сандагы терминдерге барабар болгондуктан, биздин баштапкы бөлчөккө чейин жөнөкөйлөштүрүлүшү мүмкүн деп айта алабыз. 3x² + 9x - 1.

3 методу 3: Кошумча жөнөкөйлөтүү көндүмдөрүн колдонуу

Кадам 1. Бирдей факторлорго бөлүү менен фракцияларды жөнөкөйлөтүү

Жогоруда белгиленгендей, эгерде теңдеменин санагы менен бөлгүчүнүн факторлору бирдей болсо, анда бул факторлорду бөлчөккө толугу менен алып салууга болот. Кээде, бул эсептегичке, бөлүштүргүчкө же экөөнө факторингди талап кылат (жогоруда мисалдагыдай), кээде ошол эле факторлор ачык -айкын болот. Эскерте кетчү нерсе, жөнөкөй туюнтманы алуу үчүн бөлгүчтүн теңдемелери боюнча бөлгүчтөрдү бирден бөлүү мүмкүн.

• Факторингди талап кылбаган мисалдын үстүндө иштейли. Бөлчөк үчүн (5х² + 10x + 20)/10, коэффициенти 5хте 5 болсо дагы, жөнөкөйлөтүү үчүн ар бир мүчөнү 10го бөлө алабыз.² 10дон чоң эмес, ошондуктан 10 фактор эмес.

  Эгер ушундай кылсак, анда алабыз ((5x²)/10) + x + 2. Кааласак, биз биринчи терминди (1/2) x деп кайра жаза алабыз² Ошентип, биз (1/2) x алабыз² +x+2.

Кадам 2. Тамырларды жөнөкөйлөтүү үчүн чарчы факторлорду колдонуңуз

Тамыр белгисинин астындагы туюнтма сөз туюнтмасы деп аталат. Бул сөз квадрат факторлорун (бүтүн сандардын квадраттары болгон факторлорду) аныктоо жана квадрат тамыры белгисинин астынан алып салуу үчүн квадрат тамыры операциясын өзүнчө аткаруу аркылуу жөнөкөйлөштүрүлүшү мүмкүн.

• Жөнөкөй мисал келтирели - (90). Эгерде биз 90ду анын 9 жана 10 факторлорунун продуктусу деп ойлосок, анда бүтүн сан 3 болгон 9дун квадрат тамырын алып, аны радикалдык белгиден алып салсак болот. Башкача айтканда:

  • √(90)
  • √(9 × 10)
  • (√(9) × √(10))
  • 3 × √(10)
  • 3√(10)

Кадам 3. Эки көрсөткүчтү көбөйтүүдө экспоненттерди кошуу; бөлүү учурунда алып салуу

Кээ бир алгебралык туюнтмалар күч терминдерин көбөйтүүнү же бөлүүнү талап кылат. Ар бир көрсөткүчтү кол менен эсептөөнүн же бөлүүнүн ордуна, убакытты үнөмдөө үчүн көбөйтүүдө экспоненттерди кошуу жана бөлүүдө азайтуу керек. Бул түшүнүк өзгөрмөлүү сөздөрдү жөнөкөйлөтүү үчүн да колдонулушу мүмкүн.

• Мисалы, 6x сөз айкашын колдонолу³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵). Экспоненттерди көбөйтүү же бөлүү талап кылынган ар кандай учурда, биз жөнөкөй терминди тез табуу үчүн тийиштүү түрдө көрсөткүчтөрдү алып салабыз же кошобуз. Төмөнкүлөрдү караңыз:

  • 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵)
  • (6 × 8) x^{3 + 4} + (x^{17 - 15})
  • 48x⁷ +x²

• Бул кантип иштээрин түшүндүрүү үчүн төмөндө караңыз:

  • Терминдерди экспоненттерде көбөйтүү чындыгында узун көрсөткүчтөрдө эмес, терминдерди көбөйтүүгө окшош. Мисалы, анткени x³ = x × x × x жана x ⁵ = x × x × x × x × x x, x³ × x⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), же x⁸.
  • Дээрлик бирдей, экспоненттерди бөлүү узак көрсөткүчтөргө эмес, терминдерди бөлүүгө окшош. x⁵/x³ = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Нуматордогу ар бир терминди бөлгүчтө ошол эле терминди таап чийип салууга боло тургандыктан, эсептегичте эки гана х калды жана ылдыйда эч нерсе калган жок, х деген жоопту берди.².

Кеңештер

• Ар дайым эсиңизде болсун, бул сандарды оң жана терс белгилери бар деп элестетүү керек. Көптөр бул жерге кандай Белги коюшум керек деп ойлонууну токтотушат?
• Керек болсо жардам сураңыз!
• Алгебралык туюнтмаларды жөнөкөйлөтүү оңой эмес, бирок аны түшүнгөндөн кийин аны өмүр бою колдоносуз.

Эскертүү

• Ар дайым окшош урууларды издеңиз жана даражага алданып калбаңыз.
• Кокусунан болбошу керек болгон сандарды, ыйгарым укуктарды же операцияларды кошпогонуңузду текшериңиз.