Алгебралык теңдемелерди факторлоонун 3 жолу

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2024-01-15 08:19

Математикада, факторинг көбөйтүлгөндө берилген санды же теңдемени чыгаруучу сандарды же сөз айкаштарын табуунун жолу. Факторинг - бул жөнөкөй алгебра маселелерин чечүүнү үйрөнүү үчүн пайдалуу көндүм; жакшы факторлоо жөндөмү квадрат теңдемелер жана көп мүчөлүктөрдүн башка формалары менен иштөөдө маанилүү болуп калат. Факторинг алгебралык туюнтмаларды жөнөкөйлөтүү үчүн аларды чечүүнү жеңилдетүү үчүн колдонулушу мүмкүн. Факторинг сизге мүмкүн болгон жоопторду кол менен чечүүдөн алда канча тезирээк жок кылуу мүмкүнчүлүгүн берет.

Кадам

Метод 3: Факторинг сандары жана жөнөкөй алгебралык туюнтмалар

Кадам 1. Жалгыз сандарга карата факторингдин аныктамасын түшүнүңүз

Факторинг - бул жөнөкөй түшүнүк, бирок иш жүзүндө татаал теңдемелерге колдонулганда кыйын болушу мүмкүн. Ошондуктан факторинг түшүнүгүнө жөнөкөй сандар менен баштоо, андан кийин жөнөкөй теңдемелерге өтүү, эң татаал тиркемелерге өтүүдөн мурун эң оңой. Сандын факторлору - бул сандарды көбөйткөндө санды чыгаруучу сандар. Мисалы, 12 факторлору 1, 12, 2, 6, 3 жана 4, анткени 1 × 12, 2 × 6 жана 3 × 4 12ге барабар.

• Муну ойлоонун дагы бир жолу - бул сандын факторлору сандарга бирдей бөлүнө турган сандар.

• 60 санынын бардык факторлорун таба аласызбы? Биз 60 санын ар кандай максаттар үчүн колдонобуз (бир мүнөттө бир мүнөт, секундада ж. Б.), Анткени ал башка сандарга бөлүнүшү мүмкүн.

  60 факторлору 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 жана 60

Кадам 2. Өзгөрүлмөлүү туюнтмаларды да факторлоштурууга болорун түшүнүңүз

Сандардын өзү факторлонгондой эле, сандык коэффициенттери бар өзгөрмөлөрдү да факторлоштурууга болот. Бул үчүн жөн гана өзгөрмө коэффициенттердин факторлорун табыңыз. Өзгөрмөнү кантип факторлоо керектигин билүү ал өзгөрмөнү камтыган алгебралык теңдемелерди жөнөкөйлөтүү үчүн абдан пайдалуу.

• Мисалы, 12x өзгөрмөсүн 12 жана х факторлорунун өндүрүмү катары жазууга болот. Биз 12xти 3 (4x), 2 (6x), ж.б. деп жаза алабыз, 12 фактордун кайсынысы биздин максаттарга ылайыктуу.

  Биз 12xти бир нече жолу факторлой алабыз. Башкача айтканда, биз 3 (4x) же 2 (6x) менен токтоп калуунун кажети жок - 3 (2 (2x) жана 2 (3 (2x)) чыгаруу үчүн 4x жана 6x факторлорун колдоно алабыз. Албетте, бул эки сөз айкашы эквиваленттүү

3 -кадам. Көбөйтүүнүн бөлүштүрүүчү касиетин фактордук алгебралык теңдемелерге колдонуңуз

Жалгыз сандарды да, өзгөрмөлөрдү да коэффициенттер менен кантип факторлоо керектиги боюнча билимди колдонуп, алгебралык теңдемелерде сандар менен өзгөрмөлөрдүн бөлүштүрүүчү факторлорун таап жөнөкөй алгебралык теңдемелерди жөнөкөйлөтө аласыз. Адатта, теңдемени жөнөкөйлөтүү үчүн, биз эң чоң жалпы факторду табууга аракет кылабыз. Бул жөнөкөйлөтүү процесси a, b жана c сандарына тиешелүү болгон көбөйтүүнүн бөлүштүрүүчү касиетинен улам мүмкүн болду. a (b + c) = ab + ac.

• Келгиле, мисал суроону карап көрөлү. 12x + 6 алгебралык теңдемесин факторизациялоо үчүн, адегенде 12x менен 6нын эң чоң жалпы коэффициентин табууга аракет кылалы. 6 - 12x менен 6ны бирдей бөлө турган эң чоң сан, андыктан биз теңдөөнү 6 (2x + 1) кылып жөнөкөйлөтө алабыз..
• Бул процесс терс сандары жана бөлчөктөрү бар теңдемелерге да тиешелүү. Мисалы, x/2 + 4, 1/2 (x + 8) чейин жөнөкөйлөштүрүлүшү мүмкүн, жана -7x + -21 -7 (x + 3) чейин эсепке алынышы мүмкүн.

3төн 2 методу: Квадрат теңдемелерди факторинг кылуу

Кадам 1. Теңдеме квадрат түрүндө (балта² + bx + c = 0).

Квадрат теңдемелердин axta формасы бар² + bx + c = 0, мында a, b жана c сандык туруктуулар жана 0го барабар эмес (a can 1 же -1ге барабар экенин эске алыңыз). Эгерде сизде бир х (х) өзгөрмөсү бар теңдемеңиз бар болсо, анда х бир термини эки же андан көп күчкө ээ болот, адатта бул терминдерди барабар белгинин жана балтанын эки жагында 0 алуу үчүн жөнөкөй алгебралык амалдарды колдонуп теңдемеге жылдырасыз.², жана башкалар. башка жагынан.

• Мисалы, алгебралык теңдемени ойлоп көрөлү. 5x² + 7x - 9 = 4x² + x - 18ди xке чейин жөнөкөйлөтсө болот² + 6x + 9 = 0, бул квадрат формасы.
• Х сыяктуу чоң күчкө ээ болгон теңдемелер, мисалы х³, x⁴, жана башкалар. квадрат теңдемелер эмес. Бул теңдемелер кубалык теңдемелер, төртүнчү бийликке чейин ж.б.

Кадам 2. Квадрат теңдемеде, бул жерде a = 1, факторго (x+d) (x+e), мында d × e = c жана d+e = b

Эгерде сиздин квадрат теңдемеңиз x түрүндө болсо² + bx + c = 0 (башкача айтканда, х термининин коэффициенти болсо² = 1), мүмкүн (бирок кепилденген эмес), стенографиянын бир кыйла жеңил методун теңдөөнү факторлоо үчүн колдонууга болот. Көбөйткөндө с санын берген эки санды табыңыз жана өндүрүү үчүн кошулган б. Бул эки d жана e сандарын издегенден кийин, аларды төмөнкү сөз айкашына коюңуз: (x+d) (x+e). Бул эки термин көбөйтүлгөндө сизге квадрат теңдемеңизди берет - башкача айтканда, алар сиздин квадрат теңдемеңиздин факторлору.

• Мисалы, x квадрат теңдемесин ойлонуп көрөлү² + 5x + 6 = 0. 3 жана 2 6га көбөйтүлүп, 5ке кошулат, андыктан биз бул теңдемени (x + 3) (x + 2) чейин жөнөкөйлөтө алабыз.

• Бул негизги стенографиялык ыкманын кичинекей айырмасы окшоштуктардын өздөрүндөгү айырмачылыктарда жатат:

  • Эгерде квадрат теңдеме х түрүндө болсо²-bx+c, жообуңуз бул формада: (x - _) (x - _).
  • Эгерде теңдеме x түрүндө болсо²+ bx + c, жообуңуз мындай көрүнөт: (x + _) (x + _).
  • Эгерде теңдеме x түрүндө болсо²-bx -c, жообуңуз (x + _) (x -_) түрүндө.
• Эскертүү: боштуктардагы сандар бөлчөк же ондук болушу мүмкүн. Мисалы, x теңдемеси² + (21/2) x + 5 = 0 эске алынат (x + 10) (x + 1/2).

Кадам 3. Мүмкүн болсо, чектер аркылуу эске алыңыз

Ишенесизби же ишенбеңиз, татаал квадрат теңдемелер үчүн, факторингдин уруксат берилген ыкмаларынын бири - маселени карап чыгуу, андан кийин туура жоопту тапмайынча мүмкүн болгон жоопторду карап чыгуу. Бул ыкма экзамен аркылуу факторинг деп да аталат. Эгерде теңдеме ax түрүндө болсо²+bx +c жана a> 1, сиздин фактордук жообуңуз (dx +/- _) түрүндө (ex +/- _), мында d жана e нөлдөн башка сандардын константалары, алар көбөйтүлгөндө a берет. D да, e да (же экөө тең) 1 болушу мүмкүн эмес, бирок болушу керек эмес. Эгерде экөө тең 1 болсо, сиз негизинен жогоруда сүрөттөлгөн стенография ыкмасын колдонуп жатасыз.

Келгиле, мисал көйгөйүн ойлонуп көрөлү. 3x² - 8x + 4 башында кыйын көрүнөт. Бирок, биз 3түн эки гана факторго ээ экенин түшүнгөндөн кийин (3 жана 1), бул теңдеме жеңилдейт, анткени биздин жооп (3x +/- _) (x +/- _) формасында болушу керек экенин билебиз. Бул учурда, эки боштукка -2 кошуу туура жоопту берет. -2 × 3x = -6x жана -2 × x = -2x. -6x жана -2x -8xке чейин кошулат. -2 × -2 = 4, демек, биз кобойтуу учурунда кашаанын ичинде жазылган терминдер баштапкы теңдемени чыгарганын көрө алабыз.

Кадам 4. Квадратты толтуруу менен чечүү

Кээ бир учурларда, квадрат теңдемелер атайын алгебралык иденттүүлүктөрдүн жардамы менен тез жана оңой фактурланышы мүмкүн. Х түрүндөгү каалаган квадрат теңдеме² + 2xh + h² = (x + h)². Демек, эгерде сиздин теңдөөңүздө b мааниси c маанисинен эки эсе көп болсо, анда сиздин теңдемеңизди (x + (root (c))) эсепке алууга болот².

Мисалы, теңдеме x² +6x+9 ушундай формага ээ. 3² 9 жана 3 × 2 6 болуп саналат. Ошентип, биз бул теңдеменин фактордук формасы (x + 3) (x + 3) же (x + 3) экенин билебиз².

5 -кадам. Квадрат теңдемелерди чыгаруу үчүн факторлорду колдонуңуз

Квадрат теңдемеңизди кантип негиздегениңизге карабай, теңдеме эсепке алынгандан кийин, ар бир факторду нөлгө барабар кылып, аларды чечүү менен x маанисине мүмкүн болгон жоопторду таба аласыз. Теңдемеңизди нөлгө барабар кылган xтин маанисин издеп жүргөнүңүз үчүн, кандайдыр бир факторду нөлгө барабар кылган xтин мааниси сиздин квадрат теңдемеңиздин мүмкүн болгон жообу.

Келгиле, x теңдемесине кайтып келели² + 5x + 6 = 0. Бул теңдеме (x + 3) (x + 2) = 0 болуп эсепке алынат. Эгерде факторлордун бири 0го барабар болсо, бардык теңдемелер 0ге барабар, андыктан x үчүн мүмкүн болгон жоопторубуз- бул сан. x + 3) жана (x + 2) 0го барабар. Бул сандар тиешелүү түрдө -3 жана -2.

Кадам 6. Жоопторуңузду текшериңиз - кээ бир жооптор адаштыруучу болушу мүмкүн

Сиз x үчүн мүмкүн болгон жоопторду тапканыңызда, жооптун туура же туура эместигин билүү үчүн аларды кайра баштапкы теңдемеңизге салыңыз. Кээде, сиз тапкан жооптор баштапкы теңдемени кайра киргизгенде нөлгө барабар кылбайт. Биз бул жоопту девиант деп атайбыз жана ага көңүл бурбайбыз.

• Келгиле, x -ге -2 жана -3 коёлу² + 5x + 6 = 0. Биринчиден, -2:

  • (-2)² + 5(-2) + 6 = 0
  • 4 + -10 + 6 = 0
  • 0 = 0. Бул жооп туура, ошондуктан -2 туура жооп.

• Эми, аракет кылалы -3:

  • (-3)² + 5(-3) + 6 = 0
  • 9 + -15 + 6 = 0
  • 0 = 0. Бул жооп дагы туура, ошондуктан -3 туура жооп.

3 методу 3: Факторинг башка теңдемелер

Кадам 1. Эгерде теңдеме a түрүндө туюнтулса²-б², (a+b) (a-b) фактору.

Эки өзгөрмөлүү теңдемелер негизги квадрат теңдемеге караганда башка факторлорго ээ. Теңдеме үчүн А.²-б² a жана b 0ге барабар болбогон нерселердин бардыгында теңдеменин факторлору (a+b) (a-b).

Мисалы, 9x теңдемеси² - 4y² = (3x + 2y) (3x - 2y).

Кадам 2. Эгерде теңдеме a түрүндө туюнтулса²+2ab+b², фактор (a+b)².

Көңүл буруңуз, эгерде триномия a формасында болсо²-2ab+b², форма факторлору бир аз башкача: (a-b)².

4x теңдеме² + 8xy + 4y² 4x катары кайра жазылышы мүмкүн² + (2 × 2 × 2) xy + 4y². Эми биз форманын туура экенин көрө алабыз, андыктан биздин теңдемебиздин факторлору (2x + 2y) экенине ишене алабыз.²

3 -кадам. Эгерде теңдеме a формасында көрсөтүлсө³-б³, фактор (a-b) (а²+ab+b²).

Акырында, факторинг процесси тез эле өтө татаалдашып кетсе да, куб теңдемелерин жана андан да жогорку ыйгарым укуктарды эсепке алса болору буга чейин айтылган.

Мисалы, 8x³ - 27ж³ (2x - 3y) (4x² + ((2x) (3y)) + 9y²)

Кеңештер

• а²-б² Фактурласа болот, а²+б² эсепке алуу мүмкүн эмес.
• Туруктууну кантип факторлоону унутпаңыз. Бул жардам бериши мүмкүн.
• Факторинг процессинде фракцияларга этият болуңуз жана фракциялар менен туура жана кылдат иштеңиз.
• Эгерде сизде x түрүндөгү триномия болсо²+ bx+ (b/2)², форма фактору (x+(b/2))². (Квадратты бүтүрүү учурунда сиз мындай абалга туш болушуңуз мүмкүн.)
• Эсиңизде болсун a0 = 0 (нөлдүн көбөйтүлүшүнүн касиети).