Көп мүчөдө даражасы деп аталган кубаттуулугу (x) өзгөрмөсү жана бир нече шарттары жана/же константалары бар. Полиноманы факторлоо үчүн теңдөөнү көбөйтүлүүчү жөнөкөй теңдемелерге бөлүү дегенди билдирет. Бул көндүм Алгебра 1де жана андан жогору, эгер математикалык жөндөмүңүз бул деңгээлде болбосо, түшүнүү кыйын болушу мүмкүн.
Кадам
Баштоо
Кадам 1. Теңдемеңизди орнотуңуз
Квадрат теңдеменин стандарт форматы:
балта2 + bx + c = 0
Теңдемеңиздеги терминдерди эң жогоркудан эң төмөнкүгө чейин заказ кылуу менен баштаңыз, так ушул стандарттык форматта. Мисалы:
6 + 6x2 + 13x = 0
Бул теңдемени кайра жөнгө салабыз, ошондо шарттарды жылдыруу менен иштөө оңой болот:
6x2 + 13x + 6 = 0
Кадам 2. Төмөнкү ыкмалардын бирин колдонуу менен форма факторун табыңыз
Полиномду факторинг кылуу менен эки жөнөкөй теңдеме пайда болот, аларды оригиналдуу полиномду чыгаруу үчүн көбөйтүүгө болот:
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Бул мисалда, (2x + 3) жана (3x + 2) баштапкы теңдеменин факторлору, 6x2 +13x+6.
3 -кадам. Жумушуңузду текшериңиз
Сизде болгон факторлорду көбөйтүңүз. Андан кийин, окшош терминдерди бириктирип койсоңуз болот. Менен баштоо:
(2x + 3) (3x + 2)
Келгиле, PLDT аркылуу терминдерди көбөйтүүгө аракет кылалы (биринчи - сыртта - ичинде - акыркы), натыйжада:
6x2 + 4x + 9x + 6
Бул жерден биз 4x жана 9x кошо алабыз, анткени алар терминдерге окшош. Биз факторлорубуз туура экенин билебиз, анткени биз баштапкы теңдемебизди алабыз:
6x2 + 13x + 6
Метод 1дин 6: Сыноо жана ката
Эгерде сизде жөнөкөй полином бар болсо, сиз аларды карап туруп факторлорду өзүңүз таба аласыз. Мисалы, практикадан кийин көптөгөн математиктер 4х теңдемеси бар экенин түшүнө алышат2 + 4x + 1де (2x + 1) жана (2x + 1) коэффициенти бар, аны көп кароо менен. (Бул, албетте, татаал полиномдор үчүн оңой болбойт). Бул мисал үчүн азыраак колдонулган теңдемени колдонолу:
3x2 + 2x - 8
1 -кадам. A жана c сандарынын факторлорунун тизмесин жазыңыз
Балта теңдеме форматын колдонуу2 + bx + c = 0, a жана c терминдерин аныктап, эки терминдин тең факторлорун жазыңыз. 3x үчүн2 + 2x - 8, мааниси:
a = 3 жана факторлордун жыйындысы бар: 1 * 3
c = -8 жана факторлордун төрт топтому бар: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 жана -1 * 8.
Кадам 2. Бош жерлери бар кашаанын эки топтомун жазыңыз
Сиз түзгөн боштуктарды ар бир теңдеме үчүн туруктуу менен толтурасыз:
(x) (x)
3 -кадам. Хтын алдындагы боштуктарды а мааниси үчүн мүмкүн болгон жуп факторлор менен толтуруңуз
Биздин мисалда а термини үчүн 3x2, биздин мисал үчүн бир гана мүмкүнчүлүк бар:
(3x) (1x)
4 -кадам. Xтен кийин эки боштукту туруктуу үчүн жуп факторлор менен толтуруңуз
Биз 8 жана 1ди тандадык дейли, аларга жазыңыз:
(3x
8 -кадам.)(
1 кадам
5 -кадам. X менен санынын ортосундагы белгини (плюс же минус) аныктаңыз
Баштапкы теңдемедеги белгилерге жараша, константалар үчүн белгилерди издөө мүмкүн. Мисалы, биз эки фактор үчүн h жана k эки константасын чакырабыз дейли:
Эгерде балта2 + bx + c анда (x + h) (x + k)
Эгерде балта2 - bx - c же балта2 + bx - c анда (x - h) (x + k)
Эгерде балта2 - bx + c анда (x - h) (x - k)
Биздин мисал үчүн, 3x2 + 2x - 8, белгилери: (x - h) (x + k), бизге эки факторду берет:
(3x + 8) жана (x - 1)
Кадам 6. Тандооңузду биринчиден акыркы көбөйтүү (PLDT) аркылуу текшериңиз
Биринчи тез тест - орто мөөнөттүн жок дегенде туура мааниге ээ экендигин текшерүү. Болбосо, сиз туура эмес с факторлорун тандап алгандырсыз. Келгиле, жоопту сынап көрөлү:
(3x + 8) (x - 1)
Көбөйтүү аркылуу биз төмөнкүлөрдү алабыз:
3x2 - 3x + 8x - 8
(-3x) жана (8x) сыяктуу терминдерди кошуу менен бул теңдемени жөнөкөйлөтүп, биз:
3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
Эми биз туура эмес факторлорду колдонушубуз керек экенин билебиз:
3x2 + 5x - 8 3x2 + 2x - 8
Кадам 7. Керек болсо тандооңузду өзгөртүңүз
Биздин мисалда, келгиле, 1 жана 8дин ордуна 2 жана 4 аракет кылалы:
(3x + 2) (x - 4)
Азыр биздин c мөөнөтү -8, бирок биздин тышкы/ички продуктубуз (3x * -4) жана (2 * x) -12x жана 2x, бул туура b +2x терминин чыгарбайт.
-12x + 2x = 10x
10x 2x
Кадам 8. Керек болсо, тартипти артка кайтарыңыз
Келгиле, 2 жана 4 алмаштырууга аракет кылалы:
(3x + 4) (x - 2)
Эми, биздин c терминибиз (4 * 2 = 8) туура, бирок сырткы/ички продукт -6x жана 4x. Эгерде биз аларды бириктирсек:
-6x + 4x = 2x
2x -2x Биз издеп жаткан 2хке абдан жакынбыз, бирок белгиси туура эмес.
Кадам 9. Керек болсо тегдериңизди дагы бир жолу текшериңиз
Биз ошол эле тартипти колдонобуз, бирок минус белгиси бар теңдемелерди алмаштырабыз:
(3x - 4) (x + 2)
Азыр термин c эч кандай көйгөй эмес, жана учурдагы тышкы/ички продукт (6x) жана (-4x). Анткени:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Эми биз баштапкы көйгөйдөн оң 2x колдоно алабыз. Бул туура факторлор болушу керек.
Метод 2 6: ажыроо
Бул ыкма a жана c терминдеринин бардык мүмкүн болгон факторлорун аныктап, аларды туура факторлорду табуу үчүн колдонот. Эгерде сандар өтө чоң болсо же болжолдоо көп убакытты талап кылса, бул ыкманы колдонуңуз. Мисал колдонолу:
6x2 + 13x + 6
1 -кадам. Терминди а мүчөсүнө көбөйтүү c
Бул мисалда, a 6 жана c дагы 6.
6 * 6 = 36
Кадам 2. Факторинг жана тестирлөө аркылуу b терминин алыңыз
Биз аныктаган a * c продуктунун факторлору болгон жана b (13) терминине кошулган эки санды издеп жатабыз.
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
3 -кадам. B мүчөсүн кошуунун натыйжасында теңдемеңизге кирген эки санды алмаштырыңыз
Келгиле, k жана h колдонуп, 4 жана 9 деген эки санды көрсөтөлү:
балта2 + kx + hx + c
6x2 + 4x + 9x + 6
4 -кадам. Полиномду топтоо аркылуу факторлоо
Теңдемелерди биринчи жана экинчи терминдердин эң чоң жалпы факторун ала тургандай кылып иреттеңиз. Факторлор тобу бирдей болушу керек. Эң чоң жалпы факторду кошуп, факторлор тобунун жанына кашаанын ичине коюңуз; натыйжасы сиздин эки фактор:
6x2 + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
6 -жылдын 3 -методу: Үч жолу ойноо
Декомпозиция ыкмасына окшоп, үч жолку ыкма a жана c терминдерин көбөйтүүнүн жана b маанисин колдонуунун мүмкүн болгон факторлорун изилдейт. Бул мисал теңдемесин колдонуп көрүңүз:
8x2 + 10x + 2
1 -кадам. Терминди а мүчөсүнө көбөйтүү c
Талдоо методу сыяктуу эле, бул бизге b мөөнөтүнө талапкерлерди аныктоого жардам берет. Бул мисалда, a 8 жана c 2.
8 * 2 = 16
2 -кадам. Сандарды көбөйткөндө, бул санды b мүчөсүнө барабар болгон эки санды табыңыз
Бул кадам талдоо менен бирдей - биз туруктуу үчүн талапкерлерди сынайбыз жана жок кылабыз. А жана с терминдеринин өндүрүмү 16га, с термини 10го барабар:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Кадам 3. Бул эки санды алып, үч жолу ойноо формуласына туташтырып текшериңиз
Мурунку кадамдагы эки саныбызды алыңыз - аларды h жана k деп атайбыз - жана аларды теңдемеге кошобуз:
((ax + h) (ax + k))/ a
Биз алабыз:
((8x + 8) (8x + 2)) / 8
4 -кадам. Эсептегичтеги эки терминдин кайсынысы болбосун aга бөлүнөрүн байкаңыз
Бул мисалда, биз (8x + 8) же (8x + 2) 8ге бөлүнөрүн көрдүк. (8x + 8) 8ге бөлүнөт, ошондуктан бул терминди ага бөлүп, башка факторлорду калтырабыз.
(8x + 8) = 8 (x + 1)
Бул жерде кашаанын ичиндеги термин a дегенге бөлгөндөн кийин калган нерсе.
Кадам 5. Эгерде бар болсо, бир же эки терминдин эң чоң жалпы факторун (GCF) алыңыз
Бул мисалда, экинчи мөөнөт, GCF 2ге ээ, анткени 8x + 2 = 2 (4x + 1). Бул жыйынтыкты мурунку кадамдан алган термин менен айкалыштырыңыз. Бул сиздин теңдемеңиздеги факторлор.
2 (x + 1) (4x + 1)
Метод 4 6: Квадрат Тамырлардын Айырмасы
Көп мүчөлүктөрдөгү кээ бир коэффициенттер "квадраттар" же эки сандын түшүмү болушу мүмкүн. Бул квадраттарды аныктоо бир нече полиномду тезирээк факторлоштурууга мүмкүндүк берет. Бул теңдемени колдонуп көрүңүз:
27x2 - 12 = 0
Кадам 1. Мүмкүн болсо эң чоң жалпы факторду алып салыңыз
Бул учурда, биз 27 жана 12 3кө бөлүнөрүн көрө алабыз, ошондуктан биз:
27x2 - 12 = 3 (9х2 - 4)
2 -кадам. Теңдемеңиздин коэффициенттери чарчы сандар экендигин аныктаңыз
Бул ыкманы колдонуу үчүн, сиз эки терминдин тең квадрат тамырын ала алышыңыз керек. (Көңүл бургула, биз терс белгини этибарга албайбыз - анткени бул сандар квадраттар болгондуктан, алар эки оң же терс сандын продуктусу болушу мүмкүн)
9x2 = 3x * 3x жана 4 = 2 * 2
Кадам 3. Сиз алган квадрат тамырды колдонуп, факторлорду жазыңыз
Биз а жана с маанилерин жогорудагы кадамыбыздан алабыз - a = 9 жана c = 4, андан кийин квадрат тамырды табабыз - a = 3 жана c = 2. Жыйынтык фактор теңдемесинин коэффициенти болуп саналат:
27x2 - 12 = 3 (9х2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
6 -жылдын 5 -методу: Квадрат формула
Эгерде баары аткарылбаса жана теңдеме бүтүндөй эсепке алынбаса, квадрат формуланы колдонуңуз. Бул мисалды колдонуп көрүңүз:
x2 + 4x + 1 = 0
Кадам 1. Квадрат формулага керектүү маанилерди киргизиңиз:
x = -b ± (b2 - 4ac)
2а
Биз теңдемени алабыз:
x = -4 ± (42 - 4•1•1) / 2
2 -кадам. Xтин маанисин табыңыз
Сиз эки баалуулукту аласыз. Жогоруда көрсөтүлгөндөй, биз эки жооп алабыз:
x = -2 + (3) же x = -2 -(3)
Кадам 3. факторлорду табуу үчүн х-маанини колдонуңуз
Сиз алган x маанилерин эки полиномдук теңдемеге константа катары туташтырыңыз. Жыйынтык сиздин факторлоруңуз. Эгер жоопторубузду h жана k деп атасак, эки факторду төмөнкүчө жазабыз:
(x - h) (x - k)
Бул мисалда, биздин акыркы жооп:
(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))
Метод 6дан 6: Калькуляторду колдонуу
Эгерде сизге калькуляторду колдонууга уруксат берилсе, графикалык эсептегич факторинг процессин бир топ жеңилдетет, өзгөчө стандартташтырылган тесттер үчүн. Бул көрсөтмөлөр TI графикалык калькулятору үчүн. Биз мисал теңдемесин колдонобуз:
y = x2 x 2
Кадам 1. Теңдемеңизди калькуляторго киргизиңиз
Сиз экранда [Y =] деп жазылган теңдеменин факторингин колдоносуз.
Кадам 2. Калькуляторуңуз менен теңдемеңиздин графигин түзүңүз
Теңдемеңизди киргизгенден кийин, [GRAPH] баскычын басыңыз - сиз теңдемеңизди чагылдырган жылмакай ийри сызыкты көрөсүз (жана формасы ийри, анткени биз полиномдорду колдонобуз).
Кадам 3. ийри х огу менен кесилишкен жерди табыңыз
Полиномиялык теңдемелер көбүнчө балта катары жазылгандан бери2 + bx + c = 0, бул кесилиш xтин экинчи мааниси, бул теңдемени нөлгө айландырат:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
Эгерде сиз графанын х огу менен кесилишинин кайда экенин аныктай албасаңыз, [2] жана андан кийин [TRACE] басыңыз. [2] басыңыз же нөлдү тандаңыз. Курсорду кесилиштин сол жагына жылдырып, [ENTER] басыңыз. Курсорду кесилиштин оң жагына жылдырып, [ENTER] басыңыз. Курсорду мүмкүн болушунча кесилишке жакын жылдырып [ENTER] басыңыз. Калькулятор xтин маанисин табат. Муну башка кесилиштер үчүн да жасаңыз
Кадам 4. Мурунку кадамдан алынган x маанисин эки фактордук теңдемеге сайыңыз
Эгерде биз х баалуулуктарыбыздын экөөнү тең h жана k деп атасак, анда биз колдонгон теңдемелер мындай болмок:
(x - h) (x - k) = 0
Ошентип, биздин эки фактор:
(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
Кеңештер
- Эгерде сизде TI-84 калькулятору (график) болсо, анда SOLVER аттуу программа бар, ал сиздин квадрат теңдемелерди чечет. Бул программа каалаган даражадагы полиномдорду чечет.
- Эгерде термин жазылбаса, коэффициент 0. Эгерде ушундай болсо, теңдемени кайра жазуу пайдалуу, мисалы: x2 + 6 = x2 +0x+6.
- Эгерде сиз полиномуңузду квадрат формуланы колдонуп, тамыры боюнча жооп алсаңыз, текшерүү үчүн xтин маанисин бөлчөккө айландыргыңыз келиши мүмкүн.
- Эгерде терминдин жазуу коэффициенти жок болсо, анда коэффициент 1, мисалы: x2 = 1x2.
- Жетиштүү машыгуудан кийин, сиз акыры башыңыздагы полиномдорду факторлой аласыз. Колуңуздан келмейинче, ар дайым кантип жасоону жазыңыз.
