Үч триномиалды факторлоонун 3 жолу

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2024-01-15 08:19

Триниомия - бул үч терминден турган алгебралык сөз айкашы. Кыязы, сиз квадрат триномияны факторго үйрөтө баштайсыз, балта түрүндө жазылган үчилтикти билдирет² + bx + c. Үйрөнүү үчүн бир нече трюктар бар, аларды квадрат триномиалдардын ар кандай түрлөрү үчүн колдонсо болот, бирок аларды практика менен жакшыраак жана тезирээк колдоно аласыз. Жогорку даражалуу полиномдар, x сыяктуу терминдер менен³ же x⁴, дайыма эле бирдей чечиле бербейт, бирок сиз аны көбүнчө башка квадрат формуласы сыяктуу эле чечиле турган көйгөйгө айлантуу үчүн жөнөкөй факторинг же алмаштырууну колдоно аласыз.

Кадам

3 методунун 1: факторинг x² + bx + c

Кадам 1. PLDT көбөйтүүнү үйрөнүңүз

Сиз PLDTти кантип көбөйтүүнү же "x, 2, (x+4)" сыяктуу туюнтмаларды көбөйтүү үчүн "Биринчиден, Сыртта, ичинде, Акыркы" үйрөнгөн болушуңуз мүмкүн. Бул көбөйтүүнүн кантип иштээрин билүү пайдалуу:

• Урууларды көбөйткүлө Алгачкы: (x+2)(x+4) = x² + _

• Урууларды көбөйткүлө Сыртта: (x+2) (x+

  4 -кадам.) = x²+ 4x + _

• Урууларды көбөйткүлө Жылы: (x+

  2-кадам.)(x+4) = x²+4x+ 2x + _

• Урууларды көбөйткүлө Финал: (x+

  2-кадам.) (x

  4 -кадам.) = x²+4x+2x

  8 -кадам.

• Жөнөкөйлөтүү: x²+4x+2x+8 = x²+6x+8

Кадам 2. Факторингди түшүнүңүз

PLDT ыкмасын колдонуу менен эки биномиалды көбөйткөнүңүздө, а x түрүндөгү триномиалды (үч термин менен туюнтма) аласыз.²+ b x+ c, мында a, b жана c жөнөкөй сандар. Эгерде сиз бирдей формадагы теңдемеден баштасаңыз, аны кайра эки биномияга бөлсөңүз болот.

• Эгерде теңдемелер мындай тартипте жазылбаса, теңдемелердин мындай тартипке ээ болушу үчүн аларды кайра иреттеңиз. Мисалы, кайра жазуу 3x - 10 + x² Болуп калат x² + 3x - 10.
• Анткени эң жогорку күч 2 (х², сөздүн бул түрү квадрат деп аталат.

Кадам 3. PLDT көбөйтүү түрүндө жооп үчүн бош орун калтырыңыз

Азырынча жөн эле жазыңыз (_ _)(_ _) жауабын кайда жазасын. Биз аны иштеп жатканда толтурабыз

Бош терминдердин арасына + же - жазба, анткени биз азырынча туура белгини билбейбиз

Кадам 4. Биринчи терминдерди толтуруңуз

Жөнөкөй көйгөйлөр үчүн, триномияңыздын биринчи мөөнөтү жөн эле x², Биринчи позициядагы терминдер дайыма болот x жана x. Бул х термининин факторлору² анткени х жолу х = х².

• Биздин мисал x² + 3x - 10 x менен башталат², ошондуктан биз жаза алабыз:
• (x _) (x _)
• Биз кийинки бөлүмдө 6x сыяктуу терминдер менен башталган триномиалдарды камтыган татаал көйгөйлөрдүн үстүндө иштейбиз² же -x². Ошол эле учурда, бул үлгү суроолорду ээрчип.

Кадам 5. Акыркы терминдерди табуу үчүн факторингди колдонуңуз

Эгер сиз артка кайтып PLDTти кантип көбөйтүү боюнча кадамдарды окусаңыз, анда Акыркы терминдерди көбөйтүү полиномдогу акыркы терминди (x жок терминдер) чыгарарын көрөсүз. Факторлоо үчүн, биз көбөйткөндө акыркы мөөнөттү түзө турган эки санды табышыбыз керек.

• Биздин мисалда x² + 3x - 10, акыркы мөөнөт -10.
• -10 факторлору кандай? Кайсы сан -10го көбөйтүлөт?
• Бир нече мүмкүнчүлүктөр бар: -1 жолу 10, 1 жолу -10, -2 эсе 5, же 2 эсе -5. Бул жуптарды эстеп калуу үчүн бир жерге жазыңыз.
• Биздин жоопту азырынча өзгөртпөңүз. Биздин жооп дагы эле ушундай болушу керек: (x _) (x _).

Кадам 6. Сырткы жана Ички продуктка дал келген мүмкүнчүлүктөрдү текшериңиз

Биз акыркы шарттарды бир нече мүмкүнчүлүктөргө чейин кыскарттык. Тышкы жана ички терминдерди көбөйтүп, биздин триномиалдык продукт менен салыштырып, ар бир мүмкүнчүлүктү текшерүү үчүн сыноо системасын колдонуңуз. Мисалы:

• Биздин баштапкы көйгөйүбүздө "x" термини 3x болчу, андыктан биздин тест жыйынтыгы бул терминге дал келиши керек.
• Тесттер -1 жана 10: (x -1) (x+10). Сыртта + Ичинде = 10x - x = 9x. Туура эмес.
• Тесттер 1 жана -10: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. Бул туура эмес. Чынында, эгер сиз -1 жана 10ду текшерсеңиз, анда 1 жана -10 жогорудагы жооптун карама -каршы экенин көрөсүз: 9x ордуна -9x.
• Тесттер -2 жана 5: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. Жыйынтык баштапкы полиномияга туура келет, ошондуктан бул жерде туура жооп: (x-2) (x+5).
• Ушул сыяктуу жөнөкөй учурларда, эгерде сизде x термининин алдында туруктуу болбосо², сиз тез жолду колдоно аласыз: эки факторду кошуп, анын артына "x" коюңуз (-2+5 → 3x). Бирок, бул ыкма татаалыраак көйгөйлөр үчүн иштебейт, андыктан жогоруда сүрөттөлгөн "узак жолду" эстөө жакшы.

Метод 2 3: факторинг дагы татаал триномиалдар

Кадам 1. Татаал маселелерди жөнөкөйлөтүү үчүн жөнөкөй факторингди колдонуңуз

Мисалы, эске алуу керек 3x² + 9x - 30. Үч терминди тең кыла турган санды табыңыз ("эң чоң жалпы фактор" же GCF). Бул учурда, GCF 3:

• 3x² = (3) (x²)
• 9x = (3) (3x)
• -30 = (3)(-10)
• Ошентип, 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+3x-10). Биз жаңы триномиалды жогорудагы бөлүмдөгү кадамдарды колдонуу менен аныктай алабыз. Биздин акыркы жооп болот (3) (x-2) (x+5).

Кадам 2. Оорлоштуруучу факторлорду издеңиз

Кээде факторинг өзгөрмөнү камтышы мүмкүн же мүмкүн болгон эң жөнөкөй туюнтманы табуу үчүн бир нече жолу фактор жасоо керек болушу мүмкүн. Бул жерде кээ бир мисалдар келтирилген:

• 2x²y + 14xy + 24y = (2 жыл)(x² + 7x + 12)
• x⁴ + 11x³ - 26x² = (x²)(x² +11x - 26)
• -x² + 6x - 9 = (-1)(x² - 6x + 9)
• Метод 1деги кадамдарды колдонуу менен жаңы триномиалды реформатоону унутпаңыз. Жумушуңузду текшериңиз жана ушул беттин ылдый жагындагы суроолордун мисалында ушул сыяктуу көйгөйлөрдүн мисалдарын издеңиз.

Кадам 3. х алдында турган сан менен маселелерди чечүү².

Кээ бир квадрат триномиалдарды маселенин эң оңой түрүнө чейин азайтуу мүмкүн эмес. 3x сыяктуу көйгөйлөрдү чечүүнү үйрөнүңүз² + 10x + 8, анда бул беттин ылдый жагындагы суроолордун мисалдары менен өз алдынча машыгыңыз:

• Биздин жоопту төмөнкүдөй коюңуз: (_ _)(_ _)
• Биздин "Биринчи" шарттарыбыздын ар биринде x болот жана аларды көбөйтүү 3x берет². Бир гана мүмкүнчүлүк бар: (3x _) (x _).
• 8 факторлорун тизмектеңиз. Ыктымалдыктар 1 эсе 8 же 2 эсе 4.
• Бул мүмкүнчүлүктү Сырткы жана Ички терминдерди колдонуу менен текшериңиз. Факторлордун тартиби абдан маанилүү экенин эске алыңыз, анткени Сырткы термин x ордуна 3 эсеге көбөйтүлөт. Чыгып кеткенге чейин бардык мүмкүнчүлүктөрдү сынап көрүңүз+In = 10x (баштапкы көйгөйдөн):
• (3x+1) (x+8) → 24x+x = 25x жок
• (3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x жок
• (3x+2) (x+4) → 12x+2x = 14x жок
• (3x+4) (x+2) → 6x+4x = 10x Ооба. Бул туура фактор.

Кадам 4. Жогорку даражалуу триномиалдарды алмаштырууну колдонуңуз

Сиздин математикалык китебиңиз x сыяктуу жогорку ыйгарым укуктары бар теңдемелер менен таң калтырышы мүмкүн⁴, маселени жеңилдетүү үчүн жөнөкөй факторингди колдонгондон кийин да. Жаңы чечмелөөнү алмаштырууга аракет кылыңыз, ал аны сиз чече турган көйгөйгө айлантат. Мисалы:

• x⁵+13x³+36x
• = (x) (x⁴+13x²+36)
• Келгиле, жаңы өзгөрмөнү түзөлү. Y = x деп коёлу² жана ага кой:
• (x) (ж²+13ж+36)
• = (x) (y+9) (y+4). Эми аны кайра баштапкы өзгөрмөгө айлантыңыз:
• = (x) (x²+9) (x²+4)
• = (x) (x ± 3) (x ± 2)

Метод 3 3: факторинг өзгөчө учурлар

1 -кадам. Жөнөкөй сандарды табыңыз

Үч триномиянын биринчи же үчүнчү мүчөсүндөгү константа жөнөкөй сан экенин билүү үчүн караңыз. Жөн сан өзүнчө жана 1ге гана бөлүнөт, андыктан биномалдык факторлордун бир гана мүмкүн болгон жупу бар.

• Мисалы, х² + 6x + 5, 5 - бул жөнөкөй сан, андыктан биномиал (_ 5) (_ 1) формасында болушу керек.
• 3x проблемасында²+10x+8, 3 - бул жөнөкөй сан, андыктан биномия (3x _) (x _) формасында болушу керек.
• Суроолор үчүн 3х²+4x+1, 3 да, 1 да жөнөкөй сандар, ошондуктан бир гана мүмкүн болгон чечим (3x+1) (x+1). (Жоопту текшерүү үчүн дагы эле бул санды көбөйтүү керек, анткени кээ бир сөз айкаштарын такыр фактировкалоо мүмкүн эмес - мисалы, 3x²+100x+1де эч кандай фактор жок.)

Кадам 2. Триниомиал кемчиликсиз квадрат экенин билиңиз

Мыкты квадрат триномиалды эки окшош биномго бөлүүгө болот жана фактор көбүнчө (x+1) деп жазылат² жана эмес (x+1) (x+1). Бул жерде суроолордо пайда болгон кээ бир мисалдар келтирилген:

• x²+2x+1 = (x+1)²жана x²-2x+1 = (x-1)²
• x²+4x+4 = (x+2)²жана x²-4x+4 = (x-2)²
• x²+6x+9 = (x+3)²жана x²-6x+9 = (x-3)²
• A x түрүндөгү кемчиликсиз квадрат триномиал² + bx + c ар дайым оң жана кемчиликсиз квадраттар болгон a жана c шарттарына ээ (мисалы, 1, 4, 9, 16, же 25) жана бир термин b (оң же терс) 2ге барабар (√a * √c).

Кадам 3. Көйгөйдүн чечими жок экенин билип алыңыз

Бардык триномиалдарды факторлоштуруу мүмкүн эмес. Эгерде сиз квадрат триномиалды фактор кыла албасаңыз (балта²+bx+c), жоопту табуу үчүн квадрат формуланы колдонуңуз. Эгерде бир гана жооп терс сандын квадрат тамыры болсо, анда чыныгы сандын чечими жок, анда маселенин факторлору жок.

Квадрат эмес триномиялар үчүн, Кеңештер бөлүмүндө сүрөттөлгөн Эйзенштейн критерийин колдонуңуз

Жооптор жана суроолордун үлгүлөрү

1. "Татаал факторинг" суроолоруна жооптор.

   Бул "кыйла татаал факторлор" кадамынын суроолору. Биз көйгөйлөрдү оңой кылып жөнөттүк, андыктан аларды 1 -методдогу кадамдарды колдонуу менен чечүүгө аракет кылыңыз, анан бул жердеги ишиңизди текшериңиз:

   • (2 жыл) (x² + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
   • (x²) (x² + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
   • (-1) (x² -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²

2. Факторингдин кыйла татаал көйгөйлөрүн байкап көрүңүз.

   Бул көйгөйлөр ар бир мөөнөттө бир факторго ээ, аларды биринчи кезекте эске алуу керек. Жумуштарыңызды текшерүү үчүн, жоопторду көрүү үчүн барабар белгисинен кийин боштуктарды бөгөп коюңуз:

   • 3x³+3x²-6x = (3x) (x+2) (x-1) жоопту көрүү үчүн боштукту бөгөп коюңуз
   • -5x³ж²+30x²ж²-25y²x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)

3. Суроолорду колдонуп машыгыңыз. Бул көйгөйлөрдү оңой теңдемелерге кошуу мүмкүн эмес, андыктан жоопту сыноо жана ката аркылуу (_x + _) (_ x + _) түрүндө табууга туура келет:

   • 2x²Жоопту көрүү үчүн+3x-5 = (2x+5) (x-1) блок
   • 9x²+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)² (Ишара: Сиз 9x үчүн бир нече фактор жуптарын сынап көргүңүз келиши мүмкүн.)

   Кеңештер

   • Эгерде сиз квадрат триномиалды (балта²+bx+c), xти табуу үчүн квадрат формуланы колдонсоңуз болот.

   • Муну кантип жасоону билүүнүн кажети жок болсо да, Эйзенштейн критерийлерин колдонуп, көп мүчөлүктү жөнөкөйлөтүү жана факторлоо мүмкүн эместигин тез арада аныктай аласыз. Бул критерий бардык полиномдорго тиешелүү, бирок эң жакшы триномиалдар үчүн колдонулат. Эгерде акыркы эки мүчөнү бирдей бөлгөн жана төмөнкү шарттарды канааттандырган p саны бар болсо, анда полиномду жөнөкөйлөтүү мүмкүн эмес:

     • Туруктуу шарттар (өзгөрмөлөрсүз) - бул рдын эсеби, бирок рдын эсеби эмес².
     • Префикс (мисалы, балтада²+bx+c) pдин эсеби эмес.
     • Мисалы, 14x² +45x +51 жөнөкөйлөштүрүлүшү мүмкүн эмес, анткени 45 жана 51ге экиге бөлүнүүчү, бирок 14кө бөлүнбөгөн жана 51ге 3кө бөлүнбөгөн жөнөкөй сан (3) бар.².

   Эскертүү

   Бул квадрат триномиалдар үчүн туура болсо да, факторлоштурула турган триномиал сөзсүз түрдө эки биномиянын продуктусу эмес. Мисалы, х⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).