Квадрат теңдеме - эң жогорку даражасы 2 (квадрат) болгон теңдеме. Квадрат теңдемени чыгаруунун үч негизги жолу бар: эгер мүмкүн болсо, квадрат теңдемеге факторинг берүү, квадрат формуланы колдонуу же квадратты толтуруу. Бул үч ыкманы өздөштүрүүнү кааласаңыз, бул кадамдарды аткарыңыз.
Кадам
Метод 3: Факторинг теңдемелери
Кадам 1. Бардык бирдей өзгөрмөлөрдү бириктирип, аларды теңдеменин бир жагына жылдырыңыз
Теңдемеге факторинг жасоонун биринчи кадамы бардык тең өзгөрмөлөрдү x менен теңдеменин бир жагына жылдыруу2оң болот. Өзгөрмөлөрдү бириктирүү үчүн бардык өзгөрмөлөрдү x кошуу же азайтуу2, x жана константалар (бүтүн сандар), аларды теңдеменин башка жагына жылдыргыла, экинчи тарапта эч нерсе калбасын. Башка тарапта калган өзгөрмөлөр жок болгондо, барабар белгисинин жанына 0 жазыңыз. Муну кантип жасоо керек:
- 2x2 - 8x - 4 = 3x - x2
- 2x2 +x2 - 8x -3x - 4 = 0
- 3x2 - 11x - 4 = 0
2 -кадам. Бул теңдемеге фактор кылыңыз
Бул теңдемеге фактор болуу үчүн, х факторун колдонуу керек2 (3) жана туруктуу коэффициент (-4), аларды көбөйтүп, ортодогу өзгөрмөгө ылайыктуу кылып кошуу, (-11). Муну кантип жасоо керек:
- 3x2 бир гана мүмкүн болгон фактор бар, ал 3x жана x, аларды кашаанын ичине жаза аласыз: (3x +/-?) (x +/-?) = 0.
- Андан кийин, -11x түшүм бере турган продуктту табуу үчүн 4 факторуна чейин жок кылуу процессин колдонуңуз. Сиз 4 менен 1дин, же 2 менен 2нин продуктусун колдонсоңуз болот, анткени экөөнү тең көбөйткөнүңүздө 4 аласыз. Бирок эсиңизде болсун, сандардын бири терс болушу керек, анткени натыйжасы -4.
- (3x + 1) (x - 4) аракет кылыңыз. Аны көбөйткөндө, жыйынтык - 3 эсе2 -12x +x -4. Эгерде сиз -12 x жана x өзгөрмөлөрүн бириктирсеңиз, анда жыйынтык орточо мааниси -11x болот. Сиз жөн гана квадрат теңдемени чыгардыңыз.
- Мисалы, башка продуктту факторингге салып көрөлү: (3x -2) (x +2) = 3x2 +6x -2x -4. Эгерде сиз өзгөрмөлөрдү бириктирсеңиз, натыйжа 3x болот2 -4x -4. -2 жана 2 факторлору көбөйтүлгөндө -4, орточо көрсөткүчү бирдей эмес, анткени сиз -4x ордуна -11x маанисин алгыңыз келет.
3 -кадам. Ар бир кашаа башка теңдемеде нөлгө барабар деп ойлойбуз
Бул сиздин теңдемеңизди нөлгө айландыруучу 2 х баалуулуктарды табууга мүмкүндүк берет. Сиз теңдемеңизди эсепке алдыңыз, андыктан ар бир кашаанын ичиндеги эсеп нөлгө барабар болушу керек. Ошентип, сиз 3x + 1 = 0 жана x - 4 = 0 деп жаза аласыз.
4 -кадам. Ар бир теңдемени өзүнчө чечиңиз
Квадрат теңдемеде x үчүн 2 мааниси бар. Өзгөрмөлөрдү жылдыруу жана x үчүн 2 жоопту жазуу аркылуу ар бир теңдемени өзүнчө чечиңиз, мисалы:
-
3x + 1 = 0 чечиңиз
- 3x = -1….. алып салуу менен
- 3x/3 = -1/3….. бөлүү менен
- x = -1/3….. жөнөкөйлөтүү менен
-
X - 4 = 0 чечиңиз
x = 4….. алып салуу менен
- x = (-1/3, 4) ….. бир нече мүмкүн болгон жоопторду бөлүү менен, башкача айтканда x = -1/3 же x = 4 экөө тең туура болушу мүмкүн.
Кадам 5. Текшерүү x = -1/3 (3x + 1) (x -4) = 0:
Ошентип, биз (3 [-1/3] + 1) ([-1/3]-4)? =? 0….. алмаштыруу менен (-1 + 1) (-4 1/3)? =? 0….. (0) (-4 1/3) = 0….. жөнөкөйлөтүү менен, Ошентип, 0 = 0….. Ооба, x = -1/3 чындык.
Кадам 6. Текшерүү x = 4 (3x + 1) (x - 4) = 0:
Ошентип, биз (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0….. (13) (4 - 4) менен алмаштыруу менен? =? 0….. жөнөкөйлөтүү менен (13) (0) = 0….. көбөйтүү менен Ошентип, 0 = 0….. Ооба, x = 4 да туура.
Ошентип, өзүнчө текшерилгенден кийин, эки жооп тең туура жана теңдемелерде колдонулушу мүмкүн
Метод 2 3: Квадрат формуланы колдонуу
Кадам 1. Бардык бирдей өзгөрмөлөрдү бириктирип, аларды теңдеменин бир жагына жылдырыңыз
Бардык өзгөрмөлөрдү x өзгөрмөсүнүн мааниси менен теңдеменин бир жагына жылдырыңыз2 оң Өзгөрмөлөрдү ырааттуу көрсөткүчтөр менен жазыңыз, ошондо x2 биринчи жазылган, андан кийин өзгөрмөлөр жана константалар. Муну кантип жасоо керек:
- 4x2 - 5x - 13 = x2 -5
- 4x2 - x2 - 5x - 13 +5 = 0
- 3x2 - 5x - 8 = 0
Кадам 2. Квадрат формуланы жазып алыңыз
Квадрат формула: b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}}
3 -кадам. Квадрат теңдемеден a, b жана c маанилерин аныктаңыз
А өзгөрмөсү - х коэффициенти2, b - х өзгөрмөсүнүн коэффициенти, ал эми с - туруктуу. 3x тендемеси үчүн2 -5x -8 = 0, a = 3, b = -5 жана c = -8. Үчөөнү тең жазыңыз.
4 -кадам. Теңдемеде a, b жана c маанилерин алмаштырыңыз
Үч өзгөрмөлүү маанини билгенден кийин, аларды мындай теңдемеге туташтырыңыз:
- {-b +/- √ (б2 - 4ac)}/2
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3)
5 -кадам. Эсептөөлөрдү аткарыңыз
Сандарды киргизгенден кийин, оң же терс белгини жөнөкөйлөтүү, калган айнымалыларды көбөйтүү же квадраттоо үчүн математиканы жасаңыз. Муну кантип жасоо керек:
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
Кадам 6. Квадрат тамырды жөнөкөйлөтүү
Эгерде квадрат тамырдын астындагы сан кемчиликсиз бир квадрат болсо, бүтүн санды аласыз. Эгерде сан кемчиликсиз квадрат болбосо, анын эң жөнөкөй тамыр түрүнө чейин жөнөкөйлөтүңүз. Эгерде сан терс болсо жана сиз терс болушу керек деп эсептесеңиз, түпкү мааниси татаалдашат. Бул мисалда, (121) = 11. Сиз x = (5 +/- 11)/6 деп жаза аласыз.
Кадам 7. Оң жана терс жоопторду издеңиз
Квадрат тамыр белгисин алып салгандан кийин, сиз x үчүн оң жана терс натыйжаны табууга чейин иштей аласыз. Эми сизде (5 +/- 11)/6, сиз 2 жооп жаза аласыз:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
Кадам 8. Оң жана терс жоопторду толтуруңуз
Математикалык эсептөөлөрдү аткарыңыз:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
9 -кадам. Жөнөкөйлөтүү
Ар бир жоопту жөнөкөйлөтүү үчүн, эки санды тең бөлө турган эң чоң санга бөлүңүз. Биринчи бөлчөктү 2ге бөлүңүз, экинчисин 6га бөлүңүз, ошондо сиз xтин маанисин таптыңыз.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
3төн 3кө чейинки ыкма: Аянтты толуктаңыз
Кадам 1. Бардык өзгөрмөлөрдү теңдеменин бир жагына жылдырыңыз
А же өзгөрмөлүү x экенин текшериңиз2 оң Муну кантип жасоо керек:
- 2x2 - 9 = 12x =
-
2x2 - 12x - 9 = 0
Бул теңдемеде а өзгөрмөсү 2, b өзгөрмөсү -12, c өзгөрмөсү -9
Кадам 2. Өзгөрмөнү же с -тын башка жагына жылдырыңыз
Туруктуулар - өзгөрмөлөрү жок сандык терминдер. Теңдеменин оң жагына өтүңүз:
- 2x2 - 12x - 9 = 0
- 2x2 - 12x = 9
3 -кадам. Эки жагын а коэффициентине же х өзгөрмөсүнө бөлүңүз2.
Эгерде x2 өзгөрмөсү жок жана коэффициенти 1, бул кадамды өткөрүп жиберсе болот. Бул учурда, сиз бардык өзгөрмөлөрдү 2ге бөлүшүңүз керек:
- 2x2/2 - 12x/2 = 9/2 =
- x2 - 6x = 9/2
4 -кадам. Bди 2ге бөлүп, аны төрт бурчтукка бөлүп, натыйжаны эки жакка кошуңуз
Бул мисалда b мааниси -6. Муну кантип жасоо керек:
- -6/2 = -3 =
- (-3)2 = 9 =
- x2 - 6x + 9 = 9/2 + 9
Кадам 5. Эки жагын тең жөнөкөйлөтүңүз
Сол жагындагы өзгөрмөнү (x-3) (x-3) же (x-3) алуу үчүн факторлоо2. 27/2 болгон 9/2 + 9 же 9/2 + 18/2 алуу үчүн оңго баалуулуктарды кошуңуз.
Кадам 6. Эки тараптын тең квадрат тамырын табыңыз
Квадрат тамыры (x-3)2 (x-3) болуп саналат. Сиз 27/2 квадрат тамырын ± √ (27/2) деп жаза аласыз. Ошентип, x - 3 = ± √ (27/2).
Кадам 7. Тамырларды жөнөкөйлөтүп, xтин маанисин табыңыз
± √ (27/2) жөнөкөйлөтүү үчүн 27 жана 2 сандарынын ортосундагы идеалдуу квадратты табыңыз же ошол санга фактор. 9дун идеалдуу квадратын 27ден табууга болот, анткени 9 x 3 = 27. Квадрат тамырынан 9ду алуу үчүн, 9дан тамырын алып, 3үн, квадрат тамырын сыртына жаз. Калган 3тү квадрат тамырдын астындагы бөлчөккө калтырыңыз, анткени 27 бардык факторлорду иштебейт жана астына 2 жазыңыз. Андан кийин, теңдеменин сол жагындагы 3 туруктуусун оңго жылдырып, x үчүн эки чечимиңизди жазыңыз:
- x = 3 +(√6)/2
- x = 3 - (√6)/2)
Кеңештер
- Көрүнүп тургандай, тамыр белгилери толугу менен жоголбойт. Ошентип, сандык өзгөрмөлөрдү бириктирүү мүмкүн эмес (анткени алар барабар эмес). Аны оң же терс деп бөлүүнүн эч кандай мааниси жок. Бирок, биз аны ошол эле факторго бөлө алабыз, бирок ГАНА эгер факторлор эки константа үчүн бирдей болсо ЖАНА тамыр коэффициенти.
- Эгерде квадрат тамырдын астындагы сан кемчиликсиз бир квадрат болбосо, анда акыркы бир нече кадам бир аз башкачараак. Бул жерде бир мисал:
- Эгерде b жуп сан болсо, формула төмөнкүдөй болот: {-(b/2) +/- (b/2) -ac}/a.
