Кубдук теңдемелерди чыгаруунун 3 жолу

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2024-01-16 19:41

Биринчи жолу куб теңдемесин тапканыңызда (бул балта түрүндө ³ + bx ² + cx + d = 0), балким сиз көйгөйдү чечүү кыйын болот деп ойлоп жаткандырсыз. Бирок билиңиз, кубдук теңдемелерди чечүү чындыгында кылымдар бою болгон! 1500 -жылдары италиялык математиктер Никколо Тарталья менен Героламо Кардано тарабынан ачылган бул чечим байыркы Грецияда жана Римде белгилүү болгон биринчи формулалардын бири. Кубдук теңдемелерди чыгаруу бир аз кыйын болушу мүмкүн, бирок туура мамиле (жана жетиштүү билим) менен, эң татаал кубдук теңдемелерди да чечүүгө болот.

Кадам

Метод 3: Квадрат теңдемелерди колдонуу менен чыгаруу

Кадам 1. Текшериңиз, эгер сиздин кубдук теңдемеңиз туруктуу болсо

Жогоруда айтылгандай, кубдук теңдеменин формасы балта ³ + bx ² + cx + d = 0. b, c, жана d мааниси бул кубдук теңдеменин түрүнө таасир этпестен 0 болушу мүмкүн; бул негизинен кубдук теңдеме дайыма bxтин маанисин камтуусу керек эместигин билдирет ², cx, же d кубдук теңдеме болушу керек. Кубдук теңдемелерди чыгаруунун бул оңой жолун колдонууну баштоо үчүн, кубдук теңдемеңиздин туруктуу (же d мааниси) бар -жогун текшериңиз. Эгерде теңдемеңиздин d үчүн туруктуу же мааниси жок болсо, анда бир нече кадамдан кийин кубдук теңдемеге жоопту табуу үчүн квадрат теңдемени колдонсоңуз болот.

Башка жагынан алганда, эгер сиздин теңдемеңиз туруктуу мааниге ээ болсо, анда сизге башка чечим керек болот. Башка ыкмалар үчүн төмөндөгү кадамдарды караңыз

Кадам 2. Кубдук теңдемеден x маанисин факторлоо

Сиздин теңдемеңиздин туруктуу мааниси жок болгондуктан, анын бардык компоненттери x өзгөрмөсүнө ээ. Бул х -тин бул маанисин жөнөкөйлөтүү үчүн теңдемеден чыгарууга болот дегенди билдирет. Бул кадамды жасаңыз жана кубдук теңдемеңизди x (ax ² + bx + c).

Мисалы, бул жердеги баштапкы кубдук теңдеме 3 x деп коёлу ³ + -2 x ² + 14 x = 0. Бул теңдемеден x бир өзгөрмөсүн факторингге алуу менен биз теңдемени алабыз x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

3 -кадам. Теңдемелерди кашаанын ичинде чечүү үчүн квадрат теңдемелерди колдонуңуз

Сиз кашаага алынган жаңы теңдемелериңиздин кээ бири квадрат теңдеме (балта) түрүндө экенин байкай аласыз. ² + bx + c). Бул a, b жана c квадрат теңдемелердин формуласына ({- b +/- √ (b ²- 4 ac)}/2 a). Кубдук теңдемеңизге эки жооп табуу үчүн бул эсептөөлөрдү аткарыңыз.

• Биздин мисалда, a, b жана c маанилерин (тиешелүүлүгүнө жараша 3, -2 жана 14) төмөнкүдөй квадрат теңдемеге кошуңуз:

  {- b +/- √ (б ²- 4 ac)}/2 a

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• Жооп 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12.8 i}/6

• Жооп 2:

  {2 - 12.8 i}/6

4 -кадам. Нөлдөрдү жана квадрат теңдемеге берген жообуңузду кубдук теңдемеңизге жооп катары колдонуңуз

Квадрат теңдемелерде эки жооп болот, ал эми кубдук теңдемелерде үч жооп бар. Сиз буга чейин үчтөн эки жоопту билесиз; сиз кашаанын ичинде теңдеменин "чарчы" бөлүгүнөн аласыз. Эгерде сиздин кубдук теңдемеңизди "факторизациялоо" жолу менен чечсе, үчүнчү жообуңуз дээрлик дайыма болот 0. Коопсуз! Сиз кубдук теңдемени жөн эле чечтиңиз.

Бул методдун иштешинин себеби - "нөлгө көбөйтүлгөн сан нөлгө барабар" деген негизги чындык. Теңдемеңизди x (ax ² + bx + c) = 0, сиз аны жөн эле эки "бөлүккө" бөлөсүз; бир бөлүгү сол жагындагы x өзгөрмөсү, ал эми экинчи бөлүгү кашаанын ичиндеги квадрат теңдеме. Эгерде бул эки бөлүктүн бири нөл болсо, анда бүт теңдеме да нөлгө барабар болот. Ошентип, кашаанын ичиндеги квадрат теңдемеге эки жооп, аны нөлгө айландырат, кубдук теңдемеге жооптор, ошондой эле 0 өзү - сол жагындагы бөлүгүн да нөлгө айландырат.

2дин 3 методу: Факторлор тизмесин колдонуу менен бүтүн жоопторду табуу

Кадам 1. Кубдук теңдемеңиздин туруктуу мааниге ээ экенин текшериңиз

Жогоруда сүрөттөлгөн методдорду колдонуу оңой болгону менен, аларды колдонуу үчүн жаңы эсептөө техникасын үйрөнүүнүн кажети жок, бирок алар дайыма кубдук теңдемелерди чечүүгө жардам бербейт. Эгерде сиздин кубдук теңдемеңиз балта түрүндө болсо ³ + bx ² + cx + d = 0, бул жерде d мааниси нөлгө барабар эмес, жогорудагы "факторизация" ыкмасы иштебейт, андыктан бул маселени чечүү үчүн бул бөлүмдөгү методдордун бирин колдонуу керек болот.

Мисалы, бизде 2 x теңдемеси бар дейли ³ + 9 x ² + 13 x = -6. Бул учурда, теңдеменин оң жагында нөлдү алуу үчүн, эки жакка тең 6 кошушубуз керек. Андан кийин, биз 2 x жаңы теңдемесин алабыз ³ + 9 x ² + 13 x + 6 = 0, d = 6 мааниси менен, андыктан биз мурдагы ыкмадагыдай "факторизация" ыкмасын колдоно албайбыз.

2 -кадам. А жана г факторлорун табыңыз

Кубдук теңдемеңизди чечүү үчүн а факторун (x коэффициентин) табуудан баштаңыз ³) жана d (теңдеменин аягындагы туруктуу мааниси). Эсиңизде болсун, факторлор - бул белгилүү бир санды чыгаруу үчүн бири -бирине көбөйтүлө турган сандар. Мисалы, 6 × 1 жана 2 × 3кө көбөйтүү менен 6 алсаңыз болот, 1, 2, 3 жана 6 6 факторлору.

• Биз колдонгон мисал маселесинде a = 2 жана d = 6. 2 фактор 1 жана 2. 6 коэффициенти болсо 1, 2, 3 жана 6.

  

  3 -кадам. А факторун d факторуна бөлүңүз

  Андан кийин, ар бир факторду d факторуна бөлүү менен алган баалуулуктарыңызды тизмектеңиз. Бул эсептөө көбүнчө көптөгөн бөлчөк маанилерге жана бир нече бүтүн сандарга алып келет. Кубдук теңдемеңизди чечүү үчүн бүтүн сан - бул эсептөөдөн алынган бүтүн сандардын бири.

  Биздин теңдемеде a (1, 2) фактордук маанисин d (1, 2, 3, 6) факторуна бөлүп, төмөнкү жыйынтыктарды алыңыз: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2, жана 2/3. Андан кийин, тизмеге терс маанилерди кошуңуз, жана биз: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 жана -2/3. Кубдук теңдемеге жооп - бул бүтүн сан, тизмеде.

  

  Кадам 4. Жоопторуңузду кол менен текшерүү үчүн синтетикалык бөлүмдү колдонуңуз

  Сизде жогорудагыдай баалуулуктардын тизмеси болгондон кийин, ар бир бүтүн санды кол менен киргизип, кубдук теңдемеңиздин жооптору болгон бүтүн маанилерди издеп, кайсынысы нөлгө кайтып келерин таба аласыз. Бирок, эгерде сиз муну жасоого убакыт короткуңуз келбесе, анда муну тезирээк жасоонун бир жолу бар, тактап айтканда, синтетикалык бөлүнүү. Негизи, сиз бүтүндөй саныңызды кубдук теңдемеңиздеги a, b, c жана d баштапкы коэффициенттерине бөлөсүз. Эгер калганы нөлгө барабар болсо, анда бул маани сиздин кубдук теңдемеңиздин жоопторунун бири.

  • Синтетикалык бөлүнүү татаал тема - көбүрөөк маалымат алуу үчүн төмөнкү шилтемеге кайрылыңыз. Бул жерде синтетикалык бөлүнүү менен кубдук теңдемеңизге жооптордун бирин кантип табуунун мисалы:

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    Биз акыркы жыйынтыкты 0ге барабар алгандыктан, биздин кубдук теңдемеге бүтүн сандагы жооптор экенин билебиз - 1.

  3 методу 3: Дискриминанттык ыкманы колдонуу

  

  Кадам 1. a, b, c жана d теңдемелерин жазыңыз

  Кубдук теңдемеге ушундай жол менен жооп табуу үчүн, биз теңдемебиздеги коэффициенттер менен көптөгөн эсептөөлөрдү жасайбыз. Ушундан улам, кандайдыр бир баалуулуктарды унутуудан мурун, a, b, c жана d маанилерин белгилеп коюу жакшы.

  Мисалы, x теңдемеси үчүн ³ - 3 x ² + 3 x -1, аны a = 1, b = -3, c = 3 жана d = -1 деп жазыңыз. X өзгөрмөсүнүн коэффициенти жок болгондо, анын мааниси 1 экенин унутпаңыз.

  

  2 -кадам. 0 = b деп эсептеңиз ² - 3 кондиционер.

  Кубдук теңдемелерге жооп табуу үчүн дискриминанттык мамиле татаал эсептөөлөрдү талап кылат, бирок эгерде сиз кадамдарды кылдаттык менен аткарсаңыз, бул башка жолдор менен чечүү кыйын болгон кубдук теңдемелерди чечүү үчүн абдан пайдалуу болушу мүмкүн. Баштоо үчүн, биз керек болгон бир нече биринчи мааниси болгон 0 маанисин табыңыз, б формуласына ылайыктуу маанини туташтырыңыз. ² - 3 кондиционер.

  • Биз колдонуп жаткан мисалда биз аны төмөнкүчө чечебиз:

    б ² - 3 ак

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  3 -кадам. Эсептөө 1 = 2 б ³ - 9 abc + 27 a ² г.

  Бизге керек болгон кийинки маанилүү 1, узунураак эсептөөнү талап кылат, бирок 0 сыяктуу эле табууга болот. Тийиштүү маанини формулага салыңыз 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d 1дин маанисин алуу үчүн.

  • Бул мисалда биз аны төмөнкүчө чечебиз:

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  4 -кадам. Эсептөө = 1² - 4Δ0³) -27 а ².

  Андан кийин, 0 жана 1 маанилеринин "дискриминант" маанисин эсептейбиз. Дискриминант - бул сизге полиномдун тамыры жөнүндө маалымат берген сан (сиз квадраттык дискриминанттык формуланы эстен чыгарбастан жаттап алган болушуңуз мүмкүн: b ² - 4 кондиционер). Кубдук теңдеме болгон учурда, эгер дискриминанттын мааниси оң болсо, анда теңдемеде үч реалдуу сандын жообу бар. Эгерде дискриминант мааниси нөлгө барабар болсо, анда теңдемеде бир же эки реалдуу сандын жообу болот жана кээ бир жооптордун мааниси бирдей. Эгерде мааниси терс болсо, анда теңдемеде бир гана чыныгы сандын жообу бар, анткени теңдеменин графиги дайыма х огу менен жок дегенде бир жолу кесилишет.)

  • Бул мисалда, 0 жана 1 = 0 болгондуктан, маанисин табуу абдан оңой. Биз жөн гана аны төмөнкүчө эсептешибиз керек:

    1² - 4Δ0³) -27 а ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 =, ошондуктан биздин теңдемеде 1 же 2 жооп бар.

  

  5 -кадам. С = ды эсептеңиз ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2).

  Биз үчүн маанилүү болгон акыркы баалуулук - бул С мааниси. Бул баа кубдук теңдемебиздин үч тамырын тең алууга мүмкүнчүлүк берет. Формулага 1 жана 0 маанилерин кошуп, адаттагыдай эле чечиңиз.

  • Бул мисалда, биз C маанисин алабыз:

    ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = C

  

  Кадам 6. Өзгөрмөнүн жардамы менен теңдеменин үч тамырын эсептеңиз

  Кубдук теңдемеңиздин тамыры (жообу) формула менен аныкталат (b + u C + (Δ0/u C)) / 3 а, мында u = (-1 + (-3))/2 жана n 1, 2 же 3кө барабар. Аларды чечүү үчүн баалуулуктарыңызды формулага кошуңуз-сизге керек болгон бир нече эсептөөлөр болушу мүмкүн., бирок сиз кубдук теңдемеңиздин үчөөнө тең жооп алышыңыз керек!

  • Бул мисалда, биз n 1, 2 жана 3кө барабар болгон жоопторду текшерүү менен чече алабыз. Бул эсептөөдөн алган жообубуз кубдук теңдемебиздин мүмкүн болгон жообу - кубдук теңдемеге кошулган ар кандай маани. ошол эле жыйынтык. 0 менен туура жооп. Мисалы, эгерде биз 1ге барабар жооп алсак, эгерде биздин эсептөө эксперименттерибиздин биринде 1 маанисин x теңдемесине кошуп койсок. ³ - 3 x ² + 3 x - 1 акыркы натыйжаны 0ге барабар кылат. Ошентип

    1 кадам. биздин кубдук теңдемеге жооптордун бири.