Калькуляторлор ойлоп табылганга чейинки күндөрдө студенттер менен профессорлор квадрат тамырларды кол менен эсептеши керек болчу. Бул оор процессти жеңүү үчүн бир нече түрдүү жолдор иштелип чыккан. Кээ бир жолдор болжолдуу баа берсе, башкалары так бааны беришет. Жөнөкөй операцияларды колдонуу менен сандын квадрат тамырын кантип табууну билүү үчүн, баштоо үчүн төмөндөгү 1 -кадамды караңыз.
Кадам
Метод 1 2: Prime Factorization колдонуу
Кадам 1. Номериңизди кемчиликсиз чарчы факторлорго бөлүңүз
Бул ыкма сандын квадрат тамырын табуу үчүн сандын факторлорун колдонот (санына жараша жооп так сан же жакын болжол болушу мүмкүн). Сандын факторлору - бул санды көбөйткөндө башка сандардын жыйындысы. Мисалы, сиз 8 факторлору 2 жана 4 деп айта аласыз, анткени 2 × 4 = 8. Ошол эле учурда, кемчиликсиз квадраттар башка бүтүн сандардын продуктусу болгон бүтүн сандар. Мисалы, 25, 36 жана 49 кемчиликсиз квадраттар, анткени алар тиешелүүлүгүнө жараша 52, 62, жана 72. Сиз болжогондой, кемчиликсиз квадрат факторлору - бул кемчиликсиз квадраттар болгон факторлор. Негизги факторизация аркылуу квадрат тамырды табууну баштоо үчүн, адегенде номериңизди анын кемчиликсиз квадрат факторлоруна чейин жөнөкөйлөтүүгө аракет кылыңыз.
- Мисал келтирели. Биз 400дүн квадрат тамырын кол менен табууну каалайбыз. Баштоо үчүн, биз анын кемчиликсиз квадрат факторлоруна бөлөбүз. 400 100дүн эсеби болгондуктан, биз билебиз, 400 25кө бөлүнөт - кемчиликсиз бир квадрат. Көлөкөлөрдүн тез бөлүнүшү менен 400дүн 25ке бөлүнгөнү 16га барабар экенин байкадык. Ошентип, 400дүн кемчиликсиз квадрат факторлору 25 жана 16 анткени 25 × 16 = 400.
- Биз муну мындай жаза алабыз: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
Кадам 2. Кемчиликсиз чарчы факторлоруңуздун квадрат тамырын табыңыз
Квадрат тамырдын көбөйтүү касиети a жана b ар кандай сандар үчүн Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b) деп айтылат. Бул касиеттин айынан азыр биз кемчиликсиз квадрат факторлорубуздун квадрат тамырын таап, аларды көбөйтүп жооп алабыз.
-
Биздин мисалда 25 жана 16нын квадрат тамырларын табабыз. Төмөндө караңыз:
- Тамыр (25 × 16)
- Root (25) × Root (16)
-
5 × 4 =
20 -кадам.
3 -кадам. Эгерде сиздин номериңизди так эсепке алуу мүмкүн болбосо, жообуңузду эң жөнөкөй түрүнө чейин жөнөкөйлөтүңүз
Чыныгы жашоодо көбүнчө квадраттын тамырын табышыңыз керек болгон сандар жагымдуу бүтүн сандар эмес, 400 сыяктуу ачык кемчиликсиз квадрат факторлору менен. Мындай учурларда биз туура жоопту таппай калышыбыз мүмкүн. Бирок, тапканыңызча кемчиликсиз квадрат факторлорун таап, жообун кичине, жөнөкөй жана эсептөө оңой болгон квадрат тамыр түрүндө таба аласыз. Бул үчүн, номериңизди кемчиликсиз квадрат факторлор менен кемчиликсиз квадрат факторлорунун айкалышына чейин азайтыңыз, андан кийин жөнөкөйлөштүрүңүз.
-
Мисал катары 147 квадрат тамырын колдонолу. 147 эки кемчиликсиз квадраттардын продуктусу эмес, ошондуктан биз жогоруда көрсөтүлгөндөй бүтүн санды ала албайбыз. Бирок, 147 бир кемчиликсиз квадраттын жана башка сандын продуктусу - 49 жана 3. Бул маалыматты колдонуп, жообубузду эң жөнөкөй түрдө төмөнкүчө жазышыбыз мүмкүн:
- Блондин (147)
- = Тамыр (49 × 3)
- = Sqrt (49) × Sqrt (3)
- = 7 × Root (3)
Кадам 4. Керек болсо, баалаңыз
Квадрат тамырыңыз эң жөнөкөй формада болгондуктан, калган квадрат тамырдын маанисин божомолдоп, аны көбөйтүү менен сандын жообуна болжолдуу баа берүү оңой. Сиздин божомолго жетүүнүн бир жолу - квадрат тамырыңыздагы сандан чоң жана андан кем эмес кемчиликсиз квадраттарды издөө. Сиз квадрат тамырыңыздагы сандын ондук мааниси эки сандын ортосунда экенин байкайсыз, андыктан эки сандын ортосундагы маанини божомолдой аласыз.
-
Биздин мисалга кайталы. анткени 22 = 4 жана 12 = 1, биз Root (3) 1ден 2ге чейин экенин билебиз - балким 1ден 2ге жакын. Биз 1, 7. 7 × 1, 7 = деп баалайбыз. 11, 9. Эгерде биз жоопту калькулятордон текшерсек, анда биздин жооп чыныгы жоопко абдан жакын экенин көрө алабыз 12, 13.
Бул чоң сандарга да тиешелүү. Мисалы, Root (35) 5тен 6га чейин (болжол менен 6га жакын) болжолдонушу мүмкүн. 52 = 25 жана 62 = 36. 35 25тен 36га чейин, андыктан квадраттын тамыры 5тен 6га чейин болушу керек. 35 36дан бирөө гана кичине болгондуктан, квадрат тамыры 6дан кичине экенин ишенимдүү түрдө айта алабыз. Калькулятор менен текшерүү бизге 5, 92 жөнүндө жооп бериңиз - биз туура айтабыз.
Кадам 5. Же болбосо, биринчи кадам катары номериңизди эң аз таралган факторлорго чейин азайтыңыз
Эгерде сиз сандын негизги факторлорун оңой эле аныктай алсаңыз, кемчиликсиз квадраттардын факторлорун табуунун кажети жок (ошондой эле жөнөкөй сандар болгон факторлор). Номериңизди эң аз таралган факторлор боюнча жазыңыз. Андан кийин, факторлоруңузга дал келген жуп баш сандарды табыңыз. Бирдей эки негизги факторду тапканыңызда, бул эки санды квадрат тамырынан алып салыңыз жана бул сандардын бирин квадрат тамырдын сыртына коюңуз.
-
Мисалы, бул ыкманы колдонуу менен 45тин квадрат тамырын табыңыз. Биз 45 × 5 экенин билебиз жана 9 = 3 × 3. астында экенин билебиз. Ошентип, биз квадрат тамырыбызды ушул сыяктуу факторлор боюнча жаза алабыз: Sqrt (3 × 3 × 5). Жөн эле 3s экөөнү тең алып салыңыз жана квадрат тамырыңыздын сыртына 3 коюңуз, анын эң жөнөкөй формасына келтирүү үчүн: (3) Тамыр (5).
Бул жерден бизди баалоо оңой болот.
-
Акыркы мисал катары 88дин квадрат тамырын табууга аракет кылалы:
- Root (88)
- = Тамыр (2 × 44)
- = Тамыр (2 × 4 × 11)
- = Root (2 × 2 × 2 × 11). Биздин квадрат тамырыбызда кээ бир 2 бар. 2 жөнөкөй сан болгондуктан, биз 2лерди жуп алып, бирин квадрат тамырдын сыртына коё алабыз.
-
= Биздин эң жөнөкөй түрдөгү квадрат тамырыбыз (2) Sqrt (2 × 11) же (2) Root (2) Root (11).
Бул жерден биз Sqrt (2) жана Sqrt (11) баалап, болжолдуу жоопту каалагандай таба алабыз.
Метод 2ден 2: Квадрат тамырын кол менен табуу
Узак Бөлүү Алгоритмин колдонуу
Кадам 1. Саныңыздын цифраларын жуптарга бөлүңүз
Бул ыкма цифр боюнча так квадрат тамыр санды табуу үчүн узун бөлүнүүгө окшош процессти колдонот. Бул милдеттүү эмес болсо да, эгерде сиз жумуш ордуңузду жана номерлериңизди оңой иштөөчү бөлүктөргө визуалдаштырсаңыз, бул процессти ишке ашыруу оңой болуп калышы мүмкүн. Биринчиден, иш аянтыңызды эки бөлүккө бөлүүчү вертикалдуу сызыкты сызыңыз, андан кийин оң бөлүктү кичине үстүңкү бөлүккө жана чоңураак астыңкы бөлүккө бөлүү үчүн жогорку оң жактын жанына кыска горизонталдык сызыкты тартыңыз. Андан кийин, ондук чекиттен баштап, цифраларыңызды жуптарга бөлүңүз. Мисалы, бул эрежеге ылайык, 79,520,789,182, 47897 "7 95 20 78 91 82. 47 89 70" болуп калат. Сол жактын жогору жагына номериңизди жазыңыз.
Мисалы, 780, 14 квадрат тамырын эсептеп көрөлү. Жумуш ордуңузду жогорудагыдай бөлүү үчүн эки сызык чийип, жогорку сол жагына "7 80. 14" деп жазыңыз. Эң сол жактагы сан бир түгөй эмес, бир гана сан болсо да мааниге ээ эмес. Сиз жоопту жазасыз (квадрат тамыры 780, 14), жогорку оңго
2 -кадам. Квадрат мааниси сол жактагы санга (же жуп санга) аз же барабар болгон эң чоң бүтүн санды табыңыз
Саныңыздын эң сол жагынан баштаңыз, сандардын жуптары жана жалгыз сандар. Бул сандан кем же ага барабар болгон эң чоң кемчиликсиз квадратты табыңыз, андан кийин бул кемчиликсиз квадраттын квадрат тамырын табыңыз. Бул сан n. Үстүнкү оң жагына n деп жазыңыз жана астынкы квадрантка n квадратын жазыңыз.
Биздин мисалда эң алыскы сол - 7 саны. Анткени биз муну 2 билебиз2 = 4 ≤ 7 < 32 = 9, биз n = 2 деп айта алабыз, анткени 2 - эң чоң бүтүн сан, анын квадраттык мааниси 7ден кичине же ага барабар. Оң жактагы жогорку квадрантка 2 деп жаз. Бул биздин жооптун биринчи цифрасы. Төмөнкү оң квадрантка 4 (2 чарчы мааниси) деп жазыңыз. Бул сан кийинки кадам үчүн маанилүү.
Кадам 3. Жаңы эле эсептелген санды эң сол жуптан алып салыңыз
Узун бөлүнүүдө болгондой эле, кийинки кадам - биз жаңы эле талдаган бөлүктөн тапкан квадраттын маанисин алып салуу. Бул номерди биринчи бөлүктүн астына жазыңыз жана жоопту астына жазыңыз.
-
Биздин мисалда, биз 7ге чейин 4 жазабыз, андан кийин аны алып салабыз. Бул алып салуу жооп берет
3 -кадам..
Кадам 4. Кийинки жупту таштаңыз
Квадрат тамырды издеп жаткан сандын кийинки бөлүмүн ылдый жылдырыңыз, азыр эле тапкан азайтуунун маанисинин жанына. Андан кийин, оң жактагы квадранттагы санды экиге көбөйтүп, жоопту төмөнкү оң чейрекке жазыңыз. Жаңы эле жазган саныңыздын жанына кийинки кадамда кыла турган көбөйтүү маселесине боштук калтырыңыз '"_ × _ ="'.
Биздин мисалда, биздин номерлердин кийинки жупу "80". Сол квадрантка 3түн жанына "80" деп жазыңыз. Андан кийин, жогорку оң жактагы санды экиге көбөйтүңүз. Бул сан 2, ошондуктан 2 × 2 = 4. Төмөнкү оң бурчка "'4" деп жазыңыз, андан кийин _×_=.
Кадам 5. Бош жерлерди оң квадрантка толтуруңуз
Сиз жөн эле туура квадрантка жазган бардык боштуктарды ошол эле сан менен толтурушуңуз керек. Бул бүтүн сан оң квадрантта өнүмдү азыр сол жакта турган санга барабар же эң чоң бүтүн сан болушу керек.
Биздин мисалда боштуктарды 8 менен толтурабыз, натыйжада 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Бул маани 384төн жогору. Ошентип, 8 өтө чоң, бирок 7 иштеши мүмкүн. Бош жерлерге 7 деп жазыңыз жана чечиңиз: 4 (7) × 7 = 329. 7 - туура сан, анткени 329 380ден аз. 7ди оң жактагы квадрантка жазыңыз. Бул 780, 14 квадрат тамырындагы экинчи сан
Кадам 6. Жаңы эле эсептелген санды азыр сол жактагы санынан алып салыңыз
Узун бөлүү ыкмасын колдонуу менен азайтуу чынжырын улантыңыз. Төмөндө жоопторуңузду жазып жатып, көйгөйдүн өнүмүн оң квадрантка алып, азыр сол жагындагы санынан алып салыңыз.
Биздин мисалда биз 380ден 329ду алып салабыз, бул жыйынтык берет 51.
7 -кадам. 4 -кадамды кайталаңыз
Квадрат тамырды издеп жаткан сандын кийинки бөлүгүн чыгарыңыз. Саныңыздын ондук чекитине жеткенде, жообуңузга ондук чекитти оң жактагы жогорку квадрантка жазыңыз. Андан кийин, оң жактагы санды 2ге көбөйтүп, бош көбөйтүү маселесинин жанына ("_ × _") жогорудагыдай жазыңыз.
Биздин мисалда, биз азыр 780, 14 -жылы ондук чекит менен алектенип жаткандыктан, ондук чекитти учурдагы жообубуздан кийин жогорку оңго жазыңыз. Кийинки, сол жактагы квадрантта кийинки жупту (14) түшүрүү. Үстүнкү оң жактагы (27) сан 54кө барабар, ошондуктан төмөнкү оң бурчка "54 _ × _ =" деп жазыңыз
Step 8. 5 жана 6 -кадамдарды кайталаңыз
Оң жактагы боштуктарды толтуруу үчүн эң чоң цифраны табыңыз, ал азыраак же азыраак санда жооп берет. Андан кийин, маселени чечүү.
Биздин мисалда, 549 × 9 = 4941, бул сол жактагы санга барабар (5114). 549 × 10 = 5490 өтө чоң, ошондуктан 9 сиздин жообуңуз. Кийинки цифра катары 9ду оң жактагы квадрантка жазыңыз жана продуктту сол жактан алып салыңыз: 5114 минус 4941 173кө барабар
Кадам 9. Цифраларды саноону улантуу үчүн, сол жуп нөлдөрдү түшүрүп, 4, 5 жана 6 -кадамдарды кайталаңыз
Тактык үчүн жоопту жүздөгөн, миңдеген жана башка жерлерди табуу үчүн бул процессти улантыңыз. Сиз каалаган ондук орунду тапмайынча бул циклди колдонууну улантыңыз.
Процессин түшүнүү
Кадам 1. Квадраттын тамырын квадраттын S аянты катары эсептеген санды элестетиңиз
Квадраттын аянты П болгондуктан2 мында Р - бир тараптын узундугу, анда сиздин саныңыздын квадрат тамырын табууга аракет кылып, сиз чындыгында квадраттын ошол тарабынын P узундугун эсептөөгө аракет кылып жатасыз.
Кадам 2. Жооптун ар бир цифрасы үчүн каттын өзгөрмөлөрүн аныктаңыз
А өзгөрмөсүн Pнин биринчи цифрасы катары коюңуз (биз эсептеп жаткан квадрат тамыр). В экинчи цифра, С үчүнчү цифра жана башкалар болот.
Кадам 3. Башталуучу номериңиздин ар бир бөлүгү үчүн каттын өзгөрмөлөрүн аныктаңыз
S өзгөрмөсүн коюңуза биринчи жуп сандар үчүн S (баштапкы маанисиңиз), С.б экинчи жуп цифралар үчүн ж.
Кадам 4. Бул ыкма менен узак бөлүнүүнүн ортосундагы байланышты түшүнүңүз
Квадраттык тамырды табуунун бул ыкмасы негизинен баштапкы номериңизди квадрат тамырга бөлүп, сизге жооптун квадрат тамырын берүүчү узун бөлүү көйгөйү. Узун бөлүнүү көйгөйүндөй эле, сизди ар бир кадамдын кийинки цифрасы гана кызыктырат. Ошентип, сиз ар бир кадамдын кийинки эки цифрасына гана кызыгасыз (бул квадрат тамыры үчүн ар бир кадамдын кийинки цифрасы).
5 -кадам. Квадраттык мааниси S дан кичине же барабар болгон эң чоң санды табыңыза.
Жоопубуздагы А санынын биринчи цифрасы квадраттык мааниси S ашпаган эң чоң бүтүн сана (башкача айтканда, A Ошентип A² Sa <(A+1) ²). Биздин мисалда, С.а = 7, жана 2² 7 <3², ошондуктан A = 2.
Көңүл буруңуз, мисалы, эгер сиз 88962ди 7гө бөлүүнү каалаган болсоңуз, анда биринчи кадамдар дээрлик бирдей: сиз 88962нин биринчи цифрасын көрөсүз (бул 8) жана сиз эң чоң цифраны издеп жатасыз 7ге көбөйтүлгөндө, 8ден аз же барабар Негизинен, сиз d издеп жатасыз, ошондуктан 7 × d 8 <7 × (d+1). Бул учурда, d 1ге барабар болот
Кадам 6. Аянты боюнча иштей баштай турган аянттын баалуулугун элестетип көрүңүз
Сиздин жообуңуз, баштапкы номериңиздин квадрат тамыры, P, бул S аянты (баштапкы номериңиз) менен квадраттын узундугун сүрөттөйт. Сиздин A, B, C бааларыңыз P маанисиндеги сандарды билдирет. Муну айтуунун дагы бир жолу-10А + В = Р (эки орундуу жооп үчүн), 100А + 10В + С = Р (үч цифралык жооп) ж.
Биздин мисалда, (10А+В) ² = С2 = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Эсиңизде болсун, 10A+B биздин жоопту билдирет, P, В бир позицияда жана А ондукта. Мисалы, A = 1 жана B = 2 менен, анда 10A+B 12ге барабар. (10A+B) ² ал эми аянттын жалпы аянты болуп саналат 100A² бул эң чоң аянттын аянты, B² андагы эң кичинекей аянттын аянты болуп саналат, жана 10A × B калган эки тик бурчтуктун аянты. Бул узак жана татаал процессти жасоо менен, биз квадраттардын жана тик бурчтуктардын аянттарын кошуу менен квадраттын жалпы аянтын табабыз.
7 -кадам. S²ден A² алып салууа.
Бир жуп цифраны азайтыңыз (С.б) of S. Мааниси С.а С.б сиз чоңураак ички квадратты алып салуу үчүн колдонгон аянттын жалпы аянтына жакын. Калганын 4 -кадамда алган N1 саны катары карасак болот (биздин мисалда N1 = 380). N1 2 жана эсеге барабар: 10A × B + B² (эки тик бурчтуктун аянты плюс кичинекей аянттын аянты).
Step 8. N1 = 2 × 10A × B + B² табыңыз, ал дагы N1 = (2 × 10A + B) × B деп жазылат
Биздин мисалда, сиз N1 (380) жана A (2) мурунтан эле билесиз, андыктан Вти табышыңыз керек, балким, бүтүн сан эмес, ошондуктан сиз чындыгында эң чоң бүтүн В санын табышыңыз керек (2 × 10A + B) × B N1. Демек, сизде: N1 <(2 × 10A+(B+1)) × (B+1).)
9 -кадам. Аяктоо
Бул теңдемени чечүү үчүн, А -ды 2ге көбөйтүп, натыйжаны ондукка которуңуз (10го көбөйтүүнүн эквиваленти), В -ны бир позицияга коюп, санды В -га көбөйтүңүз Башкача айтканда, чечиңиз (2 × 10А + B) × B. Бул 4 -кадамдын төмөнкү оң чейрегине "N_ × _ =" (N = 2 × A менен) деп жазганыңызда дал ушундай болот. 5 -кадамда сиз эң чоң бүтүн В санын табасыз. анын астындагы сан (2 × 10A + B) × B N1.
Кадам 10. Жалпы аянттан (2 × 10A + B) × B аянтын алып салыңыз
Бул алып салуу S- (10A+B) ² аянтына алып келет (жана кийинки цифраны ушундай жол менен эсептөө үчүн колдонулат).
Кадам 11. Кийинки цифраны эсептөө үчүн, С, процессти кайталаңыз
Кийинки жупту түшүрүү (С.в) S'ти солго N2 алуу үчүн жана эң чоң Сни табуу үчүн (2 × 10 × (10A+B)+C) × C N2 (эки орундуу "АВ" санынан эки эсе көп жазууга барабар) "_ × _ =". Боштуктардагы эң чоң дал келген цифраны табыңыз, ал мурдагыдай N2ге барабар же ага барабар жооп берет.
Кеңештер
- Ондук чекитти сандын эки цифрасынын (100гө эселиги) эсеби менен жылдыруу, ондук чекиттин квадрат тамырындагы бир цифранын эселигине (10дун эселиги) жылышын билдирет.
- Бул мисалда 1.73 "калдык" катары каралышы мүмкүн: 780, 14 = 27, 9² + 1.73.
- Бул ыкма базалык 10 үчүн эмес, каалаган база үчүн колдонулушу мүмкүн (ондук).
- Сизге ыңгайлуураак эсептөөнү колдонсоңуз болот. Кээ бирөөлөр жыйынтыкты баштапкы сандын үстүнө жазышат.
- Кайталанган фракцияларды колдонуунун альтернативалуу жолу бул формуланы кармоо: z = (x^2 + y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x +…))). Мисалы, 780, 14 квадрат тамырын эсептөө үчүн, квадраттык мааниси 780, 14кө жакын бүтүн сан 28, ошондуктан z = 780, 14, x = 28 жана y = -3, 86. Маанилерди киргизүү жана эсептөөлөрдү x + y/(2x) үчүн гана берет (эң жөнөкөй тил менен айтканда) 78207/20800 же болжол менен 27, 931 (1); кийинки мөөнөт, 4374188/156607 же болжол менен 27, 930986 (5). Ар бир термин ондук орундун мурунку санынын тактыгына болжол менен 3 ондук кошот.
