3X3 матрицасынын детерминантын кантип аныктоо керек: 11 кадам (сүрөттөр менен)

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2024-01-15 08:19

Матрицалардын детерминанты көбүнчө эсептөөдө, сызыктуу алгебрада жана геометрияда жогорку деңгээлде колдонулат. Академиялык чөйрөдөн тышкары, компьютердик графика инженерлери жана программисттери дайыма матрицаларды жана алардын детерминанттарын колдонушат. Эгерде сиз 2х2 тартибиндеги матрицанын детерминантын кантип аныктоону билсеңиз, анда 3x3 тартибиндеги матрицанын детерминантын аныктоо үчүн кошууну, кемитүүнү жана убакытты колдонууну үйрөнүшүңүз керек.

Кадам

2 ичинен 1 -бөлүк: Детерминанттарды аныктоо

3 x 3 заказ матрицаңызды жазыңыз. 3x3 тартибиндеги А матрицасынан баштайбыз жана аныктоочу | А | ды табууга аракет кылабыз. Төмөндө биз колдоно турган матрицалык белгилөөнүн жалпы формасы жана биздин матрицанын мисалы келтирилген:

		а11	а12	а13		1	5	3
М.	=	а21	а22	а23	=	2	4	7
		а31	а32	а33		4	6	2

Кадам 1. Бир сапты же мамычаны тандаңыз

Тандооңузду шилтеме катар же мамыча кылыңыз. Сиз кайсынысын тандайсыз, дагы эле ошол жоопту аласыз. Биринчи катарды убактылуу тандаңыз. Биз кийинки бөлүмдө эсептөөнүн эң оңой вариантын тандоо боюнча бир нече сунуштарды беребиз.

Үлгү матрицанын биринчи сабын тандаңыз. А цифрасын 1 5 3. Жалпы белгилөөдө а₁₁ а₁₂ а₁₃.

Кадам 2. Биринчи элементиңиздин сабын жана тилкесин сызыңыз

Сиз тегеректеген сапты же мамычаны карап, биринчи элементти тандаңыз. Саптар менен мамычаларды сызып салыңыз. Кол тийбеген 4 гана сан калат. Бул 4 санды 2х2 тартиптеги матрица кылыңыз.

• Биздин мисалда, биздин шилтеме сабыбыз 1 5 3. Биринчи элемент 1 -катарда жана 1 -графада. 1 -сапты жана 1 -графаны толугу менен сызып салыңыз. Калган элементтерди 2 x 2 матрицасына жазыңыз:
• 1 5 3
• 2 4 7
• 4 6 2

3 -кадам. 2 x 2 тартип матрицасынын детерминантын аныктаңыз

Эсиңизде болсун, матрицанын детерминантын аныктаңыз [^{а_в б_г] тарабынан жарнама - б.з.ч. Матрицанын детерминантын 2 х 2 матрицанын ортосуна X чийүү аркылуу аныктоону да үйрөнгөн болушуңуз керек. / X сызыгы менен туташкан эки санды көбөйтүңүз. Андан кийин сызык менен туташкан эки санды канча жолу алып салыңыз / болуп саналат. Бул формуланы 2 x 2 матрицанын детерминантын эсептөө үчүн колдонуңуз.}

• Мисалда матрицанын детерминанты [^{4₆ 7₂}] = 4*2 - 7*6 = - 34.
• Бул аныктоочу деп аталат жашы жете элек баштапкы матрицада сиз тандаган элементтердин. Бул учурда, биз жакында эле жашы жете электи таптык₁₁.

Кадам 4. Сиз тандаган элементке табылган санды көбөйтүңүз

Эсиңизде болсун, сиз кайсы саптар менен мамычаларды чыгарууну чечкенде, шилтеме катарынан (же мамычадан) элементтерди тандап алдыңыз. Бул элементти сиз тапкан 2 x 2 матрицанын детерминанты менен көбөйтүңүз.

Мисалда биз a тандайбыз₁₁ бул 1. Бул санды -34кө көбөйтүңүз (2 x 2 матрицанын детерминанты) 1*-34 = - 34.

Кадам 5. Жообуңуздун символун аныктаңыз

Кийинки кадам -жоопту 1 же -1ге көбөйтүү үчүн кофактор сиз тандаган элементтин. Сиз колдонгон символ 3 x 3 матрицасындагы элементтердин жайгашкан жерине жараша болот. Эсиңизде болсун, бул символикалык таблица сиздин элементтин мультипликаторун аныктоо үчүн колдонулат:

• + - +
• - + -
• + - +
• Анткени биз а тандап жатабыз₁₁ +деп белгиленген, биз санды +1ге көбөйтөбүз (же башкача айтканда, аны өзгөртпөңүз). Пайда болгон жооп бирдей болот, тактап айтканда - 34.
• Символду аныктоонун дагы бир жолу-формуланы колдонуу (-1) ^{i+j мында i жана j катар жана мамыча элементтери.}

Кадам 6. Бул процессти маалымдама сабыңыздагы же тилкеңиздеги экинчи элемент үчүн кайталаңыз

Мурда сапты же мамычаны айланып чыккан баштапкы 3 x 3 матрицасына кайтыңыз. Ошол эле процессти элемент менен кайталаңыз:

• Элементтин сабын жана тилкесин сызып салыңыз.

  Бул учурда, a элементин тандаңыз₁₂ (бул 5ке барабар). 1 -катарды (1 5 3) жана 2 -тилкени (5 4 6) сызып өтүңүз.

• Калган элементтерди 2х2 матрицасына айландырыңыз.

  Биздин мисалда, экинчи элемент үчүн 2х2 тартип матрицасы [²₄ ⁷₂].

• Бул 2х2 матрицанын детерминантын аныктаңыз.

  Ad - bc формуласын колдонуңуз. (2*2 - 7*4 = -24)

• Сиз тандаган 3x3 матрицанын элементтерине көбөйтүңүз.

  -24 * 5 = -120

• Жогорудагы жыйынтыкты -1ге көбөйтүү керекпи же жокпу, чечиңиз.

  Белгилердин же формулалардын таблицасын колдонуңуз (-1)^ij. A элементин тандаңыз₁₂ символдоштурулган - символикалык таблицада. Жооп белгибизди алмаштырыңыз: (-1)*(-120) = 120.

Кадам 7. Үчүнчү элемент үчүн ошол эле процессти кайталаңыз

Детерминантты аныктоо үчүн дагы бир кофакторуңуз бар. Сиздин шилтеме катарыңыздагы же тилкеңиздеги үчүнчү элемент үчүн i деп эсептеңиз. Бул жерде кофакторду эсептөөнүн тез жолу a₁₃ биздин мисалда:

• Алуу үчүн 1 -сапты жана 3 -графаны кесип коюңуз [²₄ ⁴₆].
• Детерминант 2*6 - 4*4 = -4.
• А элементи менен көбөйтүү₁₃: -4 * 3 = -12.
• Элемент a₁₃ символ + символ таблицасында, ошондуктан жооп - 12.

Кадам 8. Үч эсептөөңүздүн жыйынтыгын кошуңуз

Бул акыркы кадам. Сиз үч кофакторду эсептеп чыгардыңыз, бир катардагы же тилкедеги ар бир элемент үчүн. Бул жыйынтыктарды кошуп, сиз 3 x 3 матрицасынын детерминантын таба аласыз.

Мисалда, матрицанын детерминанты болуп саналат - 34 + 120 + - 12 = 74.

2нин 2 -бөлүгү: Проблемаларды чечүүнү оңой кылуу

Кадам 1. Эң көп 0лерге ээ болгон шилтемелердин сабын же тилкесин тандаңыз

Эсиңизде болсун, сиз каалаган сапты же тилкени тандай аласыз. Сиз кайсынысын тандайсыз, жооп бирдей болот. Эгерде сиз 0 саны бар сапты же мамычаны тандасаңыз, анда 0 эмес, элементтери бар кофакторду эсептөөңүз керек, анткени:

• Мисалы, a элементи бар 2 -катарды тандаңыз₂₁, а₂₂, фонд₂₃. Бул маселени чечүү үчүн 3 түрдүү 2 х 2 матрицаны колдонобуз, айталы А.₂₁, А.₂₂, Сиз₂₃.
• 3x3 матрицасынын детерминанты а₂₁| А.₂₁| - а₂₂| А.₂₂| + a₂₃| А.₂₃|.
• Эгер₂₂ фонд₂₃ 0 мааниси, учурдагы формула a болот₂₁| А.₂₁| - 0*| А.₂₂| + 0*| А.₂₃| = а₂₁| А.₂₁| - 0 + 0 = a₂₁| А.₂₁|. Ошондуктан, биз бир гана элементтин кофакторун эсептейбиз.

Кадам 2. Матрицалык маселелерди жеңилдетүү үчүн кошумча саптарды колдонуңуз

Эгерде сиз бир саптан маанилерди алып, экинчи сапка кошсоңуз, матрицанын детерминанты өзгөрбөйт. Ушул эле нерсе мамычаларга да тиешелүү. Сиз муну кайталап жасай аласыз же матрицада мүмкүн болушунча көп 0 алуу үчүн аны кошуудан мурун туруктуу менен көбөйтө аласыз. Бул көп убакытты үнөмдөй алат.

• Мисалы, сизде 3 катардан турган матрица бар: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
• А позициясында турган 9 санын жок кылуу₁₁, 2 -катардагы маанини -3кө көбөйтүп, натыйжаны биринчи сапка кошсоңуз болот. Эми, жаңы биринчи сап [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
• Жаңы матрицада саптар бар [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. Колонкаларды жасоо үчүн ушул эле ыкманы колдонуңуз₁₂ 0 саны бол.

Кадам 3. Үч бурчтуу матрицалар үчүн ыкчам ыкманы колдонуңуз

Бул өзгөчө учурда, аныктоочу негизги диагоналдагы элементтердин продуктусу, а₁₁ жогорку сол жакта₃₃ матрицанын оң ылдый жагында. Бул матрица дагы эле 3x3 матрицасы, бирок "үч бурчтук" матрицасында 0 эмес, сандардын өзгөчө үлгүсү бар:

• Жогорку үч бурчтук матрица: 0 эмес бардык элементтер негизги диагоналдын үстүндө же үстүндө. Негизги диагоналдын астындагы бардык сандар 0.
• Төмөндөгү үч бурчтук матрица: 0 эмес бардык элементтер негизги диагоналда же астында.
• Диагональдык матрица: 0 эмес бардык элементтер негизги диагоналда (жогоруда аталган матрицалардын түрлөрүнүн топтому) турат.

Кеңештер

• Эгерде бир саптагы же мамычанын бардык элементтери 0 болсо, матрицанын детерминанты 0 болот.
• Бул ыкма квадрат матрицалардын бардык өлчөмдөрү үчүн колдонулушу мүмкүн. Мисалы, эгер сиз бул ыкманы 4х4 иретиндеги матрица үчүн колдонсоңуз, анда сиздин "соккуңуз" 3x3 тартибиндеги матрицаны калтырат, анын детерминанты жогорудагы кадамдарды аткаруу менен аныкталат. Эсиңизде болсун, муну кылуу кызыксыз болушу мүмкүн!