Тамыр формасы - алгебралык билдирүү, ал квадрат тамыры (же кубдун тамыры же андан жогору) белгисине ээ. Бул форма көбүнчө бир эле мааниге ээ болгон эки санды чагылдырышы мүмкүн, бирок алар бир караганда башкача көрүнүшү мүмкүн (мисалы, 1/(sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). Ошондуктан, биз мындай форма үчүн "стандарттык формулага" муктажбыз. Эгерде стандарттуу формулада экөө тең башкача көрүнгөн эки билдирүү болсо, алар бирдей эмес. Математиктер квадрат формасынын стандарттык формуласы төмөнкү талаптарга жооп берет деп макул болушат:
- Бөлчөк колдонуудан алыс болуңуз
- Бөлчөк ыйгарым укуктарын колдонбоңуз
- Бөлүмдө түп форманы колдонуудан алыс болуңуз
- Эки тамыр формасынын көбөйтүлүшүн камтыбайт
- Тамыр астындагы сандар мындан ары тамырлана албайт
Мунун бир практикалык колдонулушу бир нече тандоо экзамендеринде. Сиз жооп тапканыңызда, бирок жообуңуз жеткиликтүү варианттар менен бирдей эмес болсо, аны стандарттуу формула кылып жөнөкөйлөтүүгө аракет кылыңыз. Суроо берүүчүлөр, адатта, жоопторду стандарттык формулаларда жазышкандан кийин, жоопторуңузга да дал келип, алардын жоопторуна дал келиңиз. Эссе суроолорунда "жообуңузду жөнөкөйлөтүү" же "бардык тамырларды жөнөкөйлөтүү" сыяктуу буйруктар, студенттер жогоруда көрсөтүлгөн стандарттык формулага жооп бергенге чейин, төмөнкү кадамдарды аткаруулары керектигин билдирет. Бул кадам теңдемелерди чыгаруу үчүн да колдонулушу мүмкүн, бирок кээ бир теңдемелер типтүү эмес формулаларда оңой чечилет.
Кадам
Кадам 1. Керек болсо, иштөө тамырлары менен көрсөткүчтөрүнүн эрежелерин карап чыгыңыз (экөө тең - тамырлар - фракциялардын ыйгарым укуктары), бул процессте бизге керек
Ошондой эле полиномдарды жана рационалдуу формаларды жөнөкөйлөтүү эрежелерин карап чыгыңыз, анткени биз аларды жөнөкөйлөтүшүбүз керек.
Метод 1дин 6: Perfect Square
Кадам 1. Кемчиликсиз квадраттарды камтыган бардык тамырларды жөнөкөйлөтүңүз
Кемчиликсиз квадрат - бул сандын өзүнчө саны, мисалы, 81, 9 х 9дун түшүмү. Мыкты квадратты жөнөкөйлөтүү үчүн, квадраттын тамырын алып салып, санынын квадрат тамырын жазыңыз.
- Мисалы, 121 - бул кемчиликсиз бир квадрат, анткени 11 x 11 121ге барабар. Ошентип, тамырын (121) 11ге чейин, тамгалык белгини алып салуу менен жөнөкөйлөтө аласыз.
- Бул кадамды жеңилдетүү үчүн биринчи он эки кемчиликсиз квадратты эстеп калышыңыз керек: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Кадам 2. Кемчиликсиз кубдарды камтыган бардык тамырларды жөнөкөйлөтүңүз
Идеалдуу куб - бул санды эки эсеге көбөйтүүнүн натыйжасы, мисалы 27, 3 x 3 x 3 продукты санынын.
Мисалы, 343 - кемчиликсиз куб, анткени ал 7 x 7 x 7 продуктусу. Ошентип, 343 куб тамыры 7 болот
Метод 2ден 6: Бөлчөктөрдү Түбүнө Которуу
Же тескерисинче өзгөртүү (кээде жардам берет), бирок аларды root (5) + 5^(3/2) менен бирдей аралаштырбаңыз. Сиз тамыр формасын колдонууну каалайсыз деп ойлойбуз жана квадрат тамыры үчүн root (n) жана куб тамыры үчүн sqrt^3 (n) символдорун колдонобуз.
Кадам 1. Бөлчөктүн күчүнө бирин алып, аны түп формасына айландырыңыз, мисалы x^(a/b) = root x^a нын күчүнө
Эгерде квадрат тамыры бөлүкчө формасында болсо, аны кадимки формага айлантыңыз. Мисалы, квадрат тамыр (2/3) 4 = тамыр (4)^3 = 2^3 = 8
Кадам 2. Терс көрсөткүчтөрдү фракцияларга айландырыңыз, мисалы x^-y = 1/x^y
Бул формула туруктуу жана рационалдуу көрсөткүчтөргө гана тиешелүү. Эгерде сиз 2^x сыяктуу форма менен алектенсеңиз, анда көйгөй x бөлчөк же терс сан болушу мүмкүн экенин көрсөтсө да, аны өзгөртпөңүз
3 -кадам. Ошол эле урууну бириктирүү жана пайда болгон рационалдуу форманы жөнөкөйлөтүү.
Метод 3 3: тамырлардагы фракцияларды жок кылуу
Стандарттык формула тамыры бүтүн сан болушун талап кылат.
Кадам 1. Квадрат тамырдын астындагы санды караңыз, эгерде ал дагы эле бөлчөк болсо
Эгерде дагы эле,…
Кадам 2. Аныктык тамыры (a/b) = sqrt (a)/sqrt (b) аркылуу эки тамырдан турган фракцияга өзгөртүү
Эгерде бөлүүчү терс болсо же терс болушу мүмкүн болгон өзгөрмөлүү болсо, бул идентификаторду колдонбоңуз. Бул учурда, биринчи бөлүгүн жөнөкөйлөтүү
Кадам 3. Жыйынтыктын ар бир кемчиликсиз квадратын жөнөкөйлөтүңүз
Башкача айтканда, sqrtти (5/4) sqrtке (5)/sqrt (4) айландырыңыз, андан кийин sqrt (5)/2ге жөнөкөйлөтүңүз.
Кадам 4. Башка жөнөкөйлөтүү ыкмаларын колдонуңуз, мисалы, татаал фракцияларды жөнөкөйлөтүү, бирдей шарттарды бириктирүү ж
Метод 4 6: көбөйтүү тамырларын бириктирүү
Кадам 1. Эгерде сиз бир тамыр формасын экинчисине көбөйтүп жатсаңыз, формуланы колдонуп экөөнү бир квадрат тамырга бириктириңиз:
sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab). Мисалы, root (2)*root (6) тамырын (12) алмаштырыңыз.
- Жогорудагы иденттүүлүк, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab), эгер sqrt белгисинин астындагы сан терс болбосо, жарактуу болот. Бул формуланы а жана b терс болгондо колдонбоңуз, анткени сиз sqrt (-1)*sqrt (-1) = sqrt (1) кылып ката кетиресиз. Сол жактагы билдирүү -1ге барабар (же комплекстүү сандарды колдонбосоңуз аныкталбайт), ал эми оң жактагы билдирүү +1. Эгерде a жана/же b терс болсо, алгач sqrt (-5) = i*sqrt (5) сыяктуу белгини "өзгөртүңүз". Эгерде тамыр белгисинин астындагы форма өзгөрмөсү болсо, анын белгиси контексттен белгисиз же оң же терс болушу мүмкүн, аны азырынча калтырыңыз. Сиз жалпы иденттүүлүктү колдоно аласыз, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (sgn (a))*sqrt (sgn (b))*sqrt (| ab |), ал бардык чыныгы сандарга тиешелүү a жана b, бирок көбүнчө бул формула анча жардам бербейт, анткени ал sgn (signum) функциясын колдонууга татаалдыкты кошот.
- Бул иденттүүлүк тамырлардын формалары бирдей көрсөткүчкө ээ болгондо гана жарактуу болот. Сиз sqrt (5)*sqrt^3 (7) сыяктуу ар кандай квадрат тамырларды бир эле квадрат тамырга айландыруу менен көбөйтө аласыз. Бул үчүн квадрат тамырды убактылуу бөлчөккө айландырыңыз: sqrt (5) * sqrt^3 (7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6). Андан кийин 6125тин квадрат тамырына экөөнү көбөйтүү үчүн көбөйтүү эрежесин колдонуңуз.
Метод 5 6: Квадрат факторун тамырдан алып салуу
Кадам 1. Жеткилеңсиз тамырларды негизги факторлорго факторинг кылуу
Фактор - бул башка санга көбөйтүлгөндө сан пайда болгон сан - мисалы, 5 жана 4 - 20нын эки фактору. Жеткилеңсиз тамырларды бузуу үчүн, сандын бардык факторлорун жазыңыз (же мүмкүн болушунча көп болсо) саны өтө чоң) кемчиликсиз бир чарчы табылмайынча.
Мисалы, 45тин бардык факторлорун табууга аракет кылыңыз: 1, 3, 5, 9, 15, жана 45. 9 - бул 45 коэффициенти, ошондой эле кемчиликсиз бир квадрат (9 = 3^2). 9 x 5 = 45
Кадам 2. Квадрат тамырдын ичинен кемчиликсиз квадраттар болгон бардык көбөйткүчтөрдү алып салыңыз
9 кемчиликсиз бир квадрат, анткени ал 3 х 3 продуктусу. 9ду квадрат тамырынан алып, аны квадрат тамырдын алдында 3 менен алмаштырып, квадрат тамырдын ичинде 5 калтырыңыз. Эгерде сиз кайра 3тү квадрат тамырга "койсоңуз", өзүңүзгө 9га көбөйтүңүз, 5ке көбөйтсөңүз 45ке кайтат. 5тин 3 тамыры 45тин тамырын билдирүүнүн жөнөкөй жолу.
Башкача айтканда, sqrt (45) = sqrt (9*5) = sqrt (9)*sqrt (5) = 3*sqrt (5)
3 -кадам. Өзгөрмөдөн идеалдуу квадратты табыңыз
Квадраттын квадрат тамыры | а |. Белгилүү өзгөрмө оң болсо, сиз муну жөн эле "а" кылып жөнөкөйлөтө аласыз. А -дын квадрат тамыры квадраттын квадрат тамыры менен бөлүнгөндө a -нын кубаттуулугуна эки санды көбөйткөнүбүздө экспоненттер кошулаарын унутпаңыз, андыктан квадрат эсе a -га барабар үчүнчү күч.
Демек, куб түрүндөгү кемчиликсиз бир квадрат - бул квадрат
Кадам 4. Квадрат тамырынан кемчиликсиз квадратты камтыган өзгөрмөнү алып салыңыз
Эми, квадрат тамырдан бир квадрат алып, аны | а | га өзгөртүңүз. А -дын 3 -кубаттын жөнөкөй формасы | а | тамыры а.
Кадам 5. Бирдей шарттарды бириктирип, эсептөө жыйынтыктарынын бардык тамырларын жөнөкөйлөтүңүз
6 -жылдын 6 -методу: Бөлүмдү рационалдаштыруу
1 -кадам. Стандарттык формула бөлгүчтү мүмкүн болушунча бүтүн сан (же эгерде анын ичинде өзгөрмөсү бар болсо, полином) болушун талап кылат
-
Эгерде бөлгүч […]/root (5) сыяктуу тамыр белгисинин астындагы бир терминден турса, анда […]*sqrt (5)/sqrt (5)*sqrt алуу үчүн ошол бөлүкчөнү да, бөлүштүргүчтү да ошол тамырга көбөйтүңүз. (5) = […]*тамыр (5)/5.
Куб же андан жогору тамырлар үчүн, бөлүүчү рационалдуу болушу үчүн, тиешелүү тамырга көбөйтүңүз. Эгерде бөлүүчү^3 (5) тамыры болсо, анда санды жана бөлүүнү sqrt^3 (5)^2ге көбөйтүңүз
-
Эгерде бөлүштүрүүчү sqrt (2) + sqrt (6) сыяктуу эки квадрат тамырды кошуудан же кемитүүдөн турса, кванфификатор менен бөлүштүргүчтү формасы окшош, бирок карама -каршы белгиси бар конъюгатына көбөйткүлө. Андан кийин […]/(тамыры (2) + тамыры (6)) = […] (тамыры (2) -тамыры (6))/(тамыры (2) + тамыры (6)) (тамыры (2) -тамыры (6)). Андан кийин эки квадраттын айырмасы үчүн идентификациялык формуланы колдонуңуз [(a + b) (ab) = a^2-b^2], бөлүүнү рационалдаштыруу үчүн, (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2)^2 -sqrt (6)^2 = 2-6 = -4.
- Бул 5 + sqrt (3) сыяктуу бөлгүчтөргө да тиешелүү, анткени бардык бүтүн сандар башка бүтүн сандардын тамырлары. [1/(5 + sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5 + sqrt (3)) (5-sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5^ 2-sqrt (3)^2) = (5-sqrt (3))/(25-3) = (5-sqrt (3))/22]
- Бул ыкма sqrt (5) -sqrt (6)+sqrt (7) сыяктуу тамырлардын кошулушуна да тиешелүү. Эгер аларды (sqrt (5) -sqrt (6))+sqrt (7) деп топтоп, (sqrt (5) -sqrt (6))-sqrt (7) менен көбөйтсөңүз, жооп рационалдуу түрдө эмес, дагы эле a+b*тамырында (30) мында а жана б мурунтан эле рационалдуу сандар. Андан кийин процессти кайталаңыз a+b*sqrt (30) жана (a+b*sqrt (30)) (a-b*sqrt (30)) рационалдуу болот. Негизи, эгер сиз бул трюкту колдонуп, деноминатордогу бир тамыр белгисин алып салсаңыз, анда аны бир нече жолу кайталап, бардык тамырларды алып салсаңыз болот.
- Бул ыкма жогорку тамыры бар бөлгүчтөр үчүн да колдонулушу мүмкүн, мисалы 3 -түн төртүнчү тамыры же 9дун жетинчи тамыры. Тилекке каршы, биз бөлүүчүнүн конъюгатын түз ала албайбыз жана муну кылуу кыйын. Жоопту сан теориясы боюнча алгебра китебинен таба алабыз, бирок мен андайга барбайм.
2 -кадам. Азыр бөлүүчү рационалдуу түрдө, бирок эсептегич башаламан көрүнөт
Эми муну бөлгүчтүн конъюгатына көбөйтүү гана керек. Баргыла жана биз көп мүчө көбөйткөндөй көбөйгүлө. Мүмкүн болсо, кандайдыр бир терминдерди алып салууга, жөнөкөйлөтүүгө же бириктирүүгө болорун текшериңиз.
3 -кадам. Эгерде бөлүүчү терс бүтүн сан болсо, анда аны оң кылуу үчүн бөлгүчтү да, бөлгүчтү да -1ге көбөйтүңүз
Кеңештер
- Сиз тамыр формаларын жөнөкөйлөтүүгө жардам бере турган сайттарды интернеттен издесеңиз болот. Жөн эле тамга белгиси менен теңдемени териңиз жана Enter баскандан кийин жооп пайда болот.
- Жөнөкөй суроолор үчүн, бул макаланын бардык кадамдарын колдоно албайсыз. Татаал суроолор үчүн, бир нече жолу бир нече жолу колдонуу керек болушу мүмкүн. "Жөнөкөй" кадамдарды бир нече жолу колдонуңуз жана жообуңуз биз мурда талкуулаган стандарттык формула критерийлерине туура келерин текшериңиз. Эгерде сиздин жооп стандарттык формулада болсо, анда сиз бүттүңүз; бирок андай болбосо, сиз аны аткарууга жардам берүү үчүн жогорудагы кадамдардын бирин текшере аласыз.
- Тамырлардын формасы үчүн "сунушталган стандарттык формулага" шилтемелердин көбү татаал сандарга да тиешелүү (i = root (-1)). Эгерде билдирүүдө тамырдын ордуна "i" жазылса дагы, мүмкүн болушунча дагы эле i бар бөлүктөрдөн алыс болуңуз.
- Бул макаланын айрым көрсөтмөлөрү бардык тамырлар квадраттар деп ойлошот. Ошол эле жалпы принциптер жогорку державалардын тамырларына карата колдонулат, бирок кээ бир бөлүктөрү (айрыкча бөлүүчүсүн рационалдаштыруу) менен иштөө өтө кыйын болушу мүмкүн. Каалаган формаңызды өзүңүз чечиңиз, мисалы sqr^3 (4) же sqr^3 (2)^2. (Окуу китептеринде көбүнчө кандай форма сунушталганы эсимде жок).
- Бул макаланын айрым көрсөтмөлөрү "кадимки форманы" сүрөттөө үчүн "стандарт формула" сөзүн колдонот. Айырмасы, стандарттык формула 1+sqrt (2) же sqrt (2) +1 түрүн гана кабыл алат жана башка формаларды стандарттуу эмес деп эсептейт; Жөнөкөй форма сиз, окурман, бул эки сандын "окшоштугун" жазуу жүзүндө окшош болбосо да көрүүгө акылдуу экениңизди билдирет (алардын арифметикалык касиетинде (коммутативдик кошумча) эмес, алгебралык касиетинде (тамыр) (2) x^2-2 терс эмес тамыры)). Окурмандар бул терминологияны колдонуудагы кичине этиятсыздыкты түшүнөт деп үмүттөнөбүз.
- Эгерде көрсөтмөлөрдүн бири түшүнүксүз же карама -каршы көрүнсө, бардык кадамдарды так жана ырааттуу кылып, анан өзүңүзгө жаккан форманы тандаңыз.
