Квадрат графикти кантип тартуу керек: 10 кадам (сүрөттөр менен)

2024 Автор: Jason Gerald | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2024-02-01 14:14

Графикалык түрдө берилгенде, квадрат теңдеме формада болот балта² + bx + c же а (х - ч)² + к U тамгасын же парабола деп аталган тескери U ийри сызыгын түзүңүз. Квадрат теңдеменин графигин түзүү чокуну, багытты жана көбүнчө х менен у кесилишин издейт. Абдан жөнөкөй квадрат теңдемелер болгон учурда, х баалуулуктар топтомун киргизүү жана пайда болгон чекиттердин негизинде ийри сызык коюу жетиштүү болушу мүмкүн. Баштоо үчүн төмөндөгү 1 -кадамды караңыз.

Кадам

1 -кадам. Сиздеги квадрат теңдеменин формасын аныктаңыз

Квадрат теңдемелер үч башка формада жазылышы мүмкүн: жалпы форма, чоку формасы жана квадрат формасы. Квадрат теңдеменин графигине каалаган форманы колдонсоңуз болот; ар бир графти сүрөттөө процесси бир аз башкача. Эгерде сиз үй тапшырмасын аткарып жатсаңыз, адатта бул эки форманын биринде суроолорду аласыз - башкача айтканда, сиз тандай албайсыз, андыктан экөөнү тең түшүнгөнүңүз оң. Квадрат теңдеменин эки формасы:

• Жалпы форма.

  Бул формада квадрат теңдеме мындай жазылат: f (x) = ax² + bx + c, мында a, b жана c - чыныгы сандар жана а нөл эмес.

  Мисалы, жалпы формадагы эки квадрат теңдеме f (x) = x² + 2x + 1 жана f (x) = 9x² + 10x -8.

• Чоку формасы.

  Бул формада квадрат теңдеме мындай жазылат: f (x) = a (x - h)² + k мында a, h жана k чыныгы сандар жана a нөл эмес. Ал чоку формасы деп аталат, анткени h жана k дароо параболаңыздын чокусун (орто чекитин) (h, k) чекитине берет.

  Эки чоку формасынын теңдемелери f (x) = 9 (x - 4)² + 18 жана -3 (x - 5)² + 1

• Теңдеменин кандайдыр бир түрүн графикке келтирүү үчүн, адегенде, ийримдин аягындагы орто чеги (h, k) болгон параболанын чокусун табышыбыз керек. Жалпы формада чокулардын координаттары төмөнкүдөй эсептелет: h = -b/2a жана k = f (h), ал эми чоку формасында h жана k теңдемеде.

Кадам 2. Өзгөрмөлөрүңүздү аныктаңыз

Квадраттык маселени чечүү үчүн а, b жана c (же a, h жана k) өзгөрмөлөрүн аныктоо керек. Кадимки алгебра көйгөйү жеткиликтүү өзгөрмөлөр менен квадрат теңдеме берет, көбүнчө жалпы формада, бирок кээде эң жогорку абалда.

• Мисалы, жалпы формадагы теңдеме үчүн f (x) = 2x² + 16x + 39, бизде a = 2, b = 16 жана c = 39 бар.
• Чокунун формасы үчүн f (x) = 4 (x - 5)² + 12, бизде a = 4, h = 5 жана k = 12 бар.

3 -кадам. H эсептөө

Чоку формасы теңдемесинде сиздин h мааниси мурунтан эле берилген, бирок жалпы форма теңдемесинде h мааниси эсептелиши керек. Эсиңизде болсун, жалпы формадагы теңдемелер үчүн h = -b/2a.

• Биздин жалпы формада мисал (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Чечкенден кийин h = деп табабыз - 4.
• Биздин чокуда мисал (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), биз h = 5 экенин эч кандай математика кылбастан билебиз.

4 -кадам. K эсептөө

H сыяктуу, k эң жогорку формадагы теңдемеде белгилүү. Жалпы формадагы теңдемелер үчүн k = f (h) экенин унутпаңыз. Башкача айтканда, сиз теңдемеңиздеги бардык х баалуулуктарын жаңы эле табылган h маанилерине алмаштыруу менен k таба аласыз.

• Биз буга чейин h = -4 экенин жалпы формабызда аныктадык. Kны табуу үчүн, биз теңдемебизди h ордуна x маанисин туташтырып чечебиз:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    7 -кадам.

• Биздин эң жогорку үлгүдөгү мисалда, дагы бир жолу, биз математиканы кылбастан, к (12ге барабар) баасын билебиз.

5 -кадам. Чокуңузду чийиңиз

Сиздин параболанын чокусу (h, k) чекити-h x-координатын билдирет, k y-координатын билдирет. Чоку сиздин параболанын орто чекити - U түбүндө же тескери U чокусунда. Чокуларды билүү - так параболаны тартуунун маанилүү бөлүгү - көбүнчө мектепте, чокуну аныктоо - бул суроонун изделүүчү бөлүгү.

• Биздин жалпы формабыздын мисалында, чокубуз (-4, 7). Ошентип, биздин парабола 0 жана 7 тепкичтен солго карай 4 кадам менен аяктайт (0, 0). Биз бул чекитти графигибизде көрсөтүшүбүз керек, координаттарды белгилеп алышыбыз керек.
• Биздин чоку түрүндөгү мисалында, чокубуз (5, 12). Биз бир чекитти 5 кадам оңго жана 12 кадам жогору (0, 0) тартуубуз керек.

Кадам 6. Параболанын огун тартыңыз (милдеттүү эмес)

Параболанын симметрия огу - анын ортосунан өтүүчү сызык, аны так ортосуна бөлөт. Бул огунда параболанын сол жагы оң жагын чагылдырат. Балта түрүндөгү квадрат теңдемелер үчүн² + bx + c же a (x - h)² + k, симметриянын огу-y огуна параллель (башкача айтканда, так вертикалдуу) жана чокудан өткөн сызык.

Биздин жалпы форма мисалында, огу y огуна параллель жана чекит аркылуу өткөн сызык (-4, 7). Бул параболанын бир бөлүгү болбосо да, графикке бул сызыкты жука белгилөө акыры параболанын ийри сызыгынын симметриялуу формасын көрүүгө жардам берет

Кадам 7. Параболанын ачылыш багытын табыңыз

Параболанын чокусун жана огун билгенден кийин, андан кийин биз параболанын ачылып же түшүп турганын билишибиз керек. Бактыга жараша, бул оңой. Эгерде а мааниси оң болсо, парабола өйдө карай ачылат, а терс болсо, парабола ылдый ачылат (б.а. парабола тескери болот).

• Биздин жалпы формабыз үчүн мисал (f (x) = 2x² + 16x + 39), бизде ачылуучу парабола бар экенин билебиз, анткени биздин теңдемеде a = 2 (оң).
• Биздин чоку формасы үчүн мисал (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), бизде ачылуучу парабола бар экенин билебиз, анткени a = 4 (оң).

Кадам 8. Керек болсо, x-interceptти таап, тартыңыз

Көбүнчө, мектепте, сизден параболадан x кесилишин табууңуз талап кылынат (бул парабола х огуна жооп берген бир же эки чекит). Эгер таппасаңыз да, бул эки пункт так параболаны тартуу үчүн абдан маанилүү. Бирок, бардык параболаларда x-intercept жок. Эгерде сиздин параболада ачыла турган чоку болсо жана анын чокусу x огунун үстүндө болсо же ылдый ачылып, анын төбөсү х огунун астында болсо, параболада х-кесилиш болмаз. Болбосо, x-interceptти төмөнкү жолдордун биринде чечиңиз:

• Жөн гана f (x) = 0 кылып, теңдемени чечиңиз. Бул ыкма жөнөкөй квадрат теңдемелер үчүн, айрыкча чоку формасында колдонулушу мүмкүн, бирок татаал теңдемелер үчүн абдан кыйын болот. Мисал үчүн төмөндө караңыз

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Тамыр (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 жана 13 параболадагы x-intercept болуп саналат.

• Теңдемеңизди эске алыңыз. Балта түрүндөгү кээ бир теңдемелер² + bx + c жонокой түргө (dx + e) (fx + g) кириши мүмкүн, мында dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx жана e × g = c. Бул учурда, сиздин x-intercepts-бул x баалуулуктары, алар кашаанын ичинде каалаган терминди түзөт = 0. Мисалы:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Бул учурда, сиздин бир гана x кесилишиңиз -1, анткени xти барабар кылуу -1, кашаанын ичиндеги фактордук терминди 0го барабар кылат.

• Квадрат формуланы колдонуңуз. Эгерде сиз x-interceptти же теңдемеңизди оңой чече албасаңыз, анда ушул максат үчүн түзүлгөн квадрат формула деп аталган атайын теңдемени колдонуңуз. Эгерде ал чечиле элек болсо, теңдемеңизди axta түрүнө айлантыңыз² + bx + c, андан кийин a, b жана c формуласына x = (-b +/- sqrt (b) киргизиңиз² - 4ac))/2a. Көңүл буруңуз, бул ыкма сизге х мааниси боюнча эки жоопту берет, бул жакшы, бул сиздин параболада эки х-кесилиш бар экенин билдирет. Мисал үчүн төмөндө караңыз:

  • -5x² + 1x + 10 төмөнкүдөй квадрат формулага киргизилет:
  • x = (-1 +/- Тамыр (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- Тамыр (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- Тамыр (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) жана (-15, 18/-10). Параболада x-кесилиш x = болуп саналат - 1, 318 жана 1, 518
  • Жалпы форманын мурунку мисалы, 2х² +16x+39 төмөнкүдөй квадрат формулага киргизилет:
  • x = (-16 +/- Тамыр (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- Тамыр (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- Тамыр (-56)/-10
  • Терс сандын квадрат тамырын табуу мүмкүн болбогондуктан, бул парабола экенин билебиз x-intercept жок.

Step 9. Керек болсо, y-interceptти таап, тартыңыз

Теңдемелерде y-үзүлүшүн издөөнүн кажети жок болсо да (парабола y огу аркылуу өтүүчү чекит), акыры аны табууга туура келиши мүмкүн, өзгөчө сиз мектепте болсоңуз. Процесс өтө жөнөкөй-жөн гана x = 0 кылыңыз, андан кийин f (x) же y үчүн теңдемеңизди чечиңиз, ал параболаңыз y огу аркылуу өтүүчү у маанисин берет. Х-кесилүүдөн айырмаланып, кадимки параболада бир гана у-кесилиш болушу мүмкүн. Эскертүү-жалпы формадагы теңдемелер үчүн y-intercept y = c деңгээлинде.

• Мисалы, биздин квадрат теңдемебиз 2x экенин билебиз² + 16x + 39 y = 39да y кесилишине ээ, бирок аны төмөнкүчө тапса болот:

  • f (x) = 2x² +16x+39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Параболанын y-кесилиши at y = 39.

    Жогоруда айтылгандай, y-intercept y = c де.

• Биздин чоку теңдемебиздин формасы 4 (x - 5)² + 12де y-intercept бар, аны төмөнкү жол менен табууга болот:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Параболанын y-кесилиши at y = 112.

Кадам 10. Керек болсо, кошумча пункттарды чийип, анан графикти чийиңиз

Эми сиз теңдемеңизде чокуга, багытка, х-кесилишке жана, балким, y-кесилишке ээ болосуз. Бул этапта сиз өзүңүздүн параболаңызды жетектөөчү катары колдонууга же параболаңызды толтуруу үчүн башка пункттарды издөөгө аракет кылсаңыз болот, андыктан сиз тарткан ийри сызык тагыраак болот. Мунун эң оңой жолу-чокуңуздун каалаган жагына кээ бир х-маанилерди киргизүү, андан кийин сиз алган у-баалуулуктарды колдонуу менен бул пункттарды чийүү. Көп учурда мугалимдер сизден параболаңызды тартуудан мурун бир нече пункттарды издөөнү суранышат.

• Келгиле, x теңдемесин карап көрөлү² + 2x + 1. Биз буга чейин x -intercept x = -1де экенин билебиз. Ийри сызык бир гана учурда x кесилишине тийгендиктен, биз чоку анын х кесилишинен жыйынтык чыгарсак болот, бул чоку (-1, 0) экенин билдирет. Бизде бул парабола үчүн бир гана пункт бар - жакшы парабола тартуу үчүн жетишсиз. Толук графикти чийүүбүз үчүн башка пункттарды издеп көрөлү.

  • Төмөнкү х баалуулуктары үчүн y маанилерин табалы: 0, 1, -2 жана -3.
  • 0 үчүн: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Биздин оюбузча (0, 1).

  • 1 үчүн: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Биздин ой (1, 4).

  • -2 үчүн: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Биздин оюбузча (-2, 1).

  • -3 үчүн: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Биздин көз караш (-3, 4).

  • Бул пункттарды графикке чийип, U түрүндөгү ийри сызыгыңызды чийиңиз. Параболанын симметриялуу экенине көңүл буруңуз - параболанын бир жагындагы чекиттериңиз бүтүн сандар болгондо, параболанын башка жагында ошол эле чекитти табуу үчүн, адатта, берилген чекитти параболанын симметрия огунда чагылдыруу ишин азайта аласыз..

Кеңештер

• Алгебра мугалиминин талабына ылайык сандарды тегеректеңиз же бөлчөктөрдү колдонуңуз. Бул сизге квадрат теңдемени жакшыраак графикалоого жардам берет.
• Белгилей кетсек, f (x) = ax² + bx + c, b же c нөлгө барабар болсо, бул сандар жок болот. Мисалы, 12 эсе² + 0x + 6 12x болуп калат² + 6, анткени 0x 0.