Эсептөөдө, y үчүн x формасында жазылган теңдемеңиз болгондо (мисалы, y = x2 -3x), туунду табуу үчүн негизги туунду ыкмаларды колдонуу оңой (математиктер жашыруун функциянын туунду техникасы деп коюшат). Бирок, теңдөө белгисинин бир тарабында y мүчөсү менен куруу кыйын болгон теңдемелер үчүн (мис. X2 + ж2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19), башкача мамиле керек. Түшүнүксүз функциянын туундулары деп аталган техниканын жардамы менен, ачык функциянын туундуларынын негиздерин билсеңиз, көп өзгөрмөлүү теңдемелердин туундуларын табуу оңой!
Кадам
2дин 1 -методу: Жөнөкөй теңдемелерди тез чыгаруу
Кадам 1. адаттагыдай эле x терминдерин чыгарыңыз
Х сыяктуу көп өзгөрмөлүү теңдеме алууга аракет кылып жатканда2 + ж2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19, эмнеден баштоо керек экенин билүү кыйын болушу мүмкүн. Бактыга жараша, жашыруун функциянын туундусунун биринчи кадамы эң оңой. Баштоо үчүн жөнөкөй (ачык) туундулардын эрежелерине ылайык, теңдеменин эки тарабындагы x-терминдерди жана константаларды чыгарыңыз. Азырынча y-шарттарды этибарга албаңыз.
-
Келгиле, жогорудагы жөнөкөй теңдемеге мисал алууга аракет кылалы. x2 + ж2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19 эки терминге ээ x: x2 жана -5x. Эгерде биз теңдеме алгыбыз келсе, муну биринчи кезекте мындай кылышыбыз керек:
-
-
x2 + ж2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19
- (X -жылы 2дин күчүнө алып келиңиз2 коэффициент катары, xти -5xте алып салыңыз жана 19ду 0гө өзгөртүңүз)
- 2x + y2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0
-
-
2 -кадам. Y шарттарын чыгарыңыз жана ар бир мүчөнүн жанына (dy/dx) кошуңуз
Кийинки кадамыңыз үчүн, y терминдерин x шарттарын чыгаргандай эле алыңыз. Бул жолу, бирок коэффициенттерди кошкондой, ар бир терминдин жанына (dy/dx) кошуңуз. Мисалы, эгер сиз y түшүрсөңүз2, анда туунду 2y (dy/dx) болуп калат. Азырынча x жана y болгон терминдерди этибарга албаңыз.
-
Биздин мисалда биздин теңдемебиз азыр мындай көрүнөт: 2x + y2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0. Биз y чыгаруунун кийинки кадамын төмөнкүчө аткарабыз:
-
-
2x + y2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0
- (Жылды 2ге жеткир2 коэффициенттер катары, 8 -жылы у алып, жана ар бир мүчөнүн жанына dy/dx кой).
- 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy2= 0
-
-
3 -кадам. Продукт эрежесин же х жана у ээ болгон терминдер үчүн цитата эрежесин колдонуңуз
X жана y деген терминдер менен иштөө бир аз татаал, бирок эгерде сиз продукттун эрежелерин жана туундуларынын котенциалын билсеңиз, анда аны оңой таба аласыз. Эгерде терминдер x жана y көбөйтүлсө, продукт эрежесин колдонуңуз ((f × g) '= f' × g + g × f '), x терминин f жана y мүчөсүн g менен алмаштыруу. Башка жагынан алганда, эгерде x жана y деген терминдер бири -бирин жокко чыгарса, цитоталуу эрежени колдонуңуз ((f/g) '= (g × f' - g '× f)/g2), эсептегичти f менен бөлгүчүн g алмаштыруу.
-
Биздин мисалда, 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy2 = 0, бизде x жана y - 2xy болгон бир гана термин бар2. X жана y бири -бирине көбөйтүлгөндүктөн, продукттун эрежесин төмөнкүдөй алуу үчүн колдонобуз:
-
- 2xy2 = (2x) (ж2)- 2x = f жана y коюңуз2 = g in (f × g) '= f' × g + g × f '
- (f × g) '= (2x)' × (ж2) + (2х) × (ж2)'
- (f × g) '= (2) × (ж2) + (2x) × (2y (dy/dx))
- (f × g) '= 2y2 + 4xy (dy/dx)
-
- Муну биздин негизги теңдемеге кошуп, биз алабыз 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y2 + 4xy (dy/dx) = 0
Кадам 4. Жалгыз (dy/dx)
Бүткөнү калды! Эми, болгону тендемени (dy/dx) чечүү керек. Бул кыйын окшойт, бирок, адатта, андай эмес - эстен чыгарбайлы, a жана b деген эки термин (dy/dx) көбөйтүүнүн бөлүштүрүүчү касиетинен улам (a + b) (dy/dx) деп жазылышы мүмкүн. Бул тактика изоляцияны (dy/dx) жеңилдетиши мүмкүн - башка бардык терминдерди кашаанын экинчи жагына жылдырыңыз, андан кийин кашаанын ичиндеги терминдерге бөлүңүз (dy/dx).
-
Биздин мисалда биз 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y жөнөкөйлөтөбүз2 + 4xy (dy/dx) = 0 төмөнкүдөй:
-
- 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y2 + 4xy (dy/dx) = 0
- (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) + 2x - 5 + 2y2 = 0
- (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) = -2y2 - 2x + 5
- (dy/dx) = (-2y2 - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)
- (dy/dx) = (-2y2 - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)
-
Метод 2 2: Advanced ыкмаларын колдонуу
Кадам 1. Кандайдыр бир чекит үчүн (dy/dx) табуу үчүн (x, y) маанисин киргизиңиз
Коопсуз! Сиз өзүңүздүн теңдемеңизди ачык эле алдыңыз - биринчи аракетте оңой иш эмес! Бул теңдемени колдонуу (x, y) каалаган чекиттин градиентин (dy/dx) табуу үчүн, сиздин чекиттин x жана y маанилерин теңдеменин оң жагына туташтыруу, анан табуу (dy/dx) сыяктуу оңой..
-
Мисалы, биз жогорудагы мисал теңдемебиз үчүн (3, -4) чекитиндеги градиентти тапкыбыз келет дейли. Ан үчүн, xти 3кө алмаштырабыз жана -4кө, төмөнкүчө чечебиз:
-
- (dy/dx) = (-2y2 - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)
- (dy/dx) = (-2 (-4)2 - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)
- (dy/dx) = (-2 (16)-6 + 5)/(2 (2 (3) (-4))
- (dy/dx) = (-32)-6 + 5)/(2 (2 (-12))
- (dy/dx) = (-33)/(2 (2 (-12))
- (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48, же 0, 6875.
-
Кадам 2. Функциялардын ичиндеги функциялар үчүн чынжыр эрежесин колдонуңуз
Чынжыр эрежеси - эсептөө маселелери (анын ичинде жашыруун функциянын туунду көйгөйлөрү) боюнча иштөөдө маанилүү маалымат. Чынжыр эрежеси F (x) функциясы үчүн (f о g) (x), F (x) туундусу барабар f '(g (x)) g' (x). Түшүнүксүз функциянын туунду көйгөйлөрү үчүн, бул теңдеменин ар башка бөлүктөрүн чыгарып, анан жыйынтыктарды бириктирүү мүмкүн экенин билдирет.
-
Жөнөкөй мисал катары, биз күнөөнүн туундусун табышыбыз керек дейли (3x2 + x) чоңураак жашыруун функциянын бир бөлүгү катары sin (3х2 + x) + y3 = 0. Эгерде биз күнөөнү элестетсек (3x2 + x) f (x) жана 3x катары2 + x катары g (x), биз туунду төмөнкүчө таба алабыз:
-
- f '(g (x)) g' (x)
- (күнөө (3x2 + x)) '× (3x2 +x) '
- cos (3x2 + x) × (6x + 1)
- (6x + 1) cos (3x2 +x)
-
3 -кадам. X, y жана z өзгөрмөлөрү бар теңдемелер үчүн (dz/dx) жана (dz/dy) табыңыз
Негизги эсептөөлөрдө адаттагыдай болбосо да, кээ бир өнүккөн тиркемелер экиден ашык өзгөрмөнүн жашыруун функцияларын чыгарууну талап кылышы мүмкүн. Ар бир кошумча өзгөрмө үчүн, анын кошумча туундусун xке карата табышыңыз керек. Мисалы, эгерде сизде x, y жана z болсо, анда (dz/dy) жана (dz/dx) экөөнү тең издөө керек. Биз муну xке карата теңдемени эки жолу чыгаруу менен жасай алабыз - биринчиден, биз z камтыган терминди чыгарган сайын (dz/dx) киребиз, экинчиден, биз чыгарган сайын (dz/dy) киргизебиз. z. Андан кийин, бул жөн гана (dz/dx) жана (dz/dy) чечүү жөнүндө.
- Мисалы, биз xти чыгарууга аракет кылып жатабыз дейли3z2 - 5xy5z = x2 + ж3.
-
Биринчиден, xке каршы чыгалы жана (dz/dx) кирели. Керек болсо, продукт эрежесин колдонууну унутпаңыз!
-
- x3z2 - 5xy5z = x2 + ж3
- 3x2z2 + 2x3z (dz/dx) - 5ж5z - 5xy5(dz/dx) = 2x
- 3x2z2 + (2x3z - 5xy5) (dz/dx) - 5 жыл5z = 2x
- (2x3z - 5xy5) (dz/dx) = 2x - 3x2z2 + 5y5z
- (dz/dx) = (2x - 3x2z2 + 5y5z)/(2x3z - 5xy5)
-
-
Эми, (dz/dy) үчүн да ушундай кылыңыз
-
- x3z2 - 5xy5z = x2 + ж3
- 2x3z (dz/dy) - 25xy4z - 5xy5(dz/dy) = 3y2
- (2x3z - 5xy5) (dz/dy) = 3y2 + 25xy4z
- (dz/dy) = (3y2 + 25xy4z)/(2x3z - 5xy5)
-
